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Hi habe eine Ungleichung, bei der ich Probleme habe.
FÜr alle natürlichen Zahlen n>=5 gilt: 2^n >n^2
Ich soll beweisen, dass es für ein beliebiges n eN, n>=5 gilt.
ich soll beweisen, dass es für alle n´s gilt, in dem ich zeige das 2^(n+1) größer als (n+1)^2 ist.
Vorgegeben ist
2^(n+1) = 2*2^n
>n^2+n*n
>n^2+3n
hier sollen wir weiter machen, aber un meine Frage.. Wie komme ich von n^2+n*n zu n^2+3n?
Also wie kann man diese n*n zu 3n machen?
FÜr alle natürlichen Zahlen n>=5 gilt: 2^n >n^2
Ich soll beweisen, dass es für ein beliebiges n eN, n>=5 gilt.
ich soll beweisen, dass es für alle n´s gilt, in dem ich zeige das 2^(n+1) größer als (n+1)^2 ist.
Vorgegeben ist
2^(n+1) = 2*2^n
>n^2+n*n
>n^2+3n
hier sollen wir weiter machen, aber un meine Frage.. Wie komme ich von n^2+n*n zu n^2+3n?
Also wie kann man diese n*n zu 3n machen?
EDIT vom 25.09.2021 um 20:04:
Also mir ist bewusst, dass 3n kleiner als n*n ist, aber warum darf ich n*n zu 3n machen?
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dankedir
Punkte: 10
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hast du dich da nicht vielleicht vertippt? ich denke es müsste heißen: \(2^{n+1}=2 \cdot 2^n > 2 \cdot n^2\). daraus folgt dann \(n^2>2n+1\), was für alle n>2 zutrifft.
─
fix
25.09.2021 um 19:56
Genau also 2^(n+1)=2*2^n>2*n^2=n^2+n*n
Aber wie komme ich nun von n^2+n*n zu n^2+3n ?? Also mir ist bewusst das 3n kleiner als n*n ist und somit n^2+n*n>n^2+3n ist, aber warum darf ich da einfach 3n statt n*n machen? ─ dankedir 25.09.2021 um 20:01
Aber wie komme ich nun von n^2+n*n zu n^2+3n ?? Also mir ist bewusst das 3n kleiner als n*n ist und somit n^2+n*n>n^2+3n ist, aber warum darf ich da einfach 3n statt n*n machen? ─ dankedir 25.09.2021 um 20:01
nun ja, es gilt n>4, du kannst also das = durch ein > ersetzen wenn du für n einen kleineren Wert einsetzt.
─
fix
25.09.2021 um 20:04
Wie also ich habe ja jetzt stehen
2^(n+1)=2*2^n >n^2+n*n>n^2+3n
Dürfte ich also statt n*n jeden beliebigen anderen Wert schreiben, Hauptsache am Ende ist meine Summe kleiner? Also dürfte ich z. B auch:
2^(n+1)=2*2^n >n^2+n*n>n^2+2n
machen? Also ist da 3n weil man es einfach nur kleiner machen wollte? Und dann darf man beliebig das n wählen oder wie?
─ dankedir 25.09.2021 um 20:07
2^(n+1)=2*2^n >n^2+n*n>n^2+3n
Dürfte ich also statt n*n jeden beliebigen anderen Wert schreiben, Hauptsache am Ende ist meine Summe kleiner? Also dürfte ich z. B auch:
2^(n+1)=2*2^n >n^2+n*n>n^2+2n
machen? Also ist da 3n weil man es einfach nur kleiner machen wollte? Und dann darf man beliebig das n wählen oder wie?
─ dankedir 25.09.2021 um 20:07
Wenn du die Ungleichung fortführen willst musst du für n einen Wert einsetzen der kleiner ist als n, in dem Fall alle zahlen <5. 2 einzusetzen ergibt allerdings wenig sinn, weil du jetzt ja noch zeigen sollst, dass \(n^2+3n>(n+1)^2\) ist.
─
fix
25.09.2021 um 20:10
okay danke, also heißt, dass man hat das n*n genommen und ein n durch drei ersetzt?
Dürfte ich beide n´s theoretisch ersetzen? Also z. B
n^2+3*3, also dass ich von n^2+n*n beide n´s durch 3 ersetze?
─ dankedir 25.09.2021 um 20:13
Dürfte ich beide n´s theoretisch ersetzen? Also z. B
n^2+3*3, also dass ich von n^2+n*n beide n´s durch 3 ersetze?
─ dankedir 25.09.2021 um 20:13
ja würde auch gehen
─
fix
25.09.2021 um 20:18
Also heißt das, bei Ungleichungen darf ich immer die Variablen durch einen kleineren Wert ersetzen, hauptsache ich mach dann das kleiner Zeichen hin?
Dürfte ich theoretisch gesehen auch n^2+n*n so ersetzen, dass ich das erste n zu 1 mache, das 2 zu einer 2 und das 3 zu einer 3? Also stehen hätte 1^2+2*3 und das wäre mathematisch noch korrekt? ─ dankedir 25.09.2021 um 20:24
Dürfte ich theoretisch gesehen auch n^2+n*n so ersetzen, dass ich das erste n zu 1 mache, das 2 zu einer 2 und das 3 zu einer 3? Also stehen hätte 1^2+2*3 und das wäre mathematisch noch korrekt? ─ dankedir 25.09.2021 um 20:24
wenn du das Ungleichungszeichen beibehältst und die Bedingung dass n>4, dann ja
─ fix 25.09.2021 um 20:26
─ fix 25.09.2021 um 20:26
danke dir
─
dankedir
25.09.2021 um 20:27
