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Guten Tag zusammen

Ich habe bei einer Teilaufgabe das Problem, dass ich nicht verstehe wie ich hier die Gleichung lösen kann.

Aufgabe:

115 = (123*a) mod 557

Ich muss hier a bestimmen.

Musterlösung:

Die Musterlösung geht über die Multiplikative Inverse von 123 modulo 557. (ich weiss wie man die multiplikative Inverse berechnen kann)

D.h. (53*557-240*123) mod 557 => (-240*123) mod 557 => z-1 557 317

=> a = (z-1*x) mod p = (317*115) mod 557 = 250

Bei dieser Lösung habe ich zwei Fragen:

- Warum muss ich hier über die Multiplikative Inverse gehen?

- Wieso giltet dieses Gesetzt?

 (a*b) mod c = d

 (a-1*d) mod c = b

gefragt

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1 Antwort
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Hallo und willkommen auf mathefragen.de!

Du multiplizierst mit dem Inversen, weil die Multiplikation mit dem Inversen das neutrale Element ergibt, also $a\cdot a^{-1}=e$. Wenn du eine Gleichung in $\mathbb{R}$ löst, machst du das ja auch, nur dass die multiplikativ inversen Elemente dort sehr leicht anzugeben sind. Wirklich berechnen muss man sie dort ja nicht. Du kannst aber in $\mathbb{Z}_n$ nicht einfach durch eine Zahl dividieren. 

Außerdem gilt dann mit $a\cdot b \mod c= d$ bei Multiplikation mit dem Inversen von $a$: $a\cdot a^{-1}\cdot b \mod c= a^{-1}\cdot d$ bzw. $b\mod c =a^{-1}d$.
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Danke vielmals. Das heisst, dies ist wie wenn man in einer normalen Gleichung mal den Kehrwert rechnen würde. Das heisst folgendes:
a*b = d (und ich nach b auflösen möchte)
1/a*a*b = 1/a *d
b = 1/a * d

Ich verstehe leider noch nicht ganz die letzte Herleitung. Müsste es nicht folgendermassen sein:
(a*a^(-1)*b) mod c = (a^(-1)*d) mod c (fehlt hier dann bei Ihnen nicht noch das mod c oder haben Sie dies nur zur Vereinfachung nicht hingeschrieben?)

Jetzt evtl. noch eine dusselige Frage: Wie kann man so etwas sehen? Sollte man dies irgendwo gelesen habe oder warum weiss ich dass, dass ich dies im inneren der Modulo Klammer machen darf ( "(a*a^(-1)*d) mod 557" und nicht "(d mod 557)*a^(-1)")?
  ─   teams 28.04.2022 um 20:05

Vergessen habe ich da nichts. Es heißt ja allgemein $a\mod b=c$ und nicht $a\mod b=c\mod b$. Bei der Modulo-Rechnung spielt es aber keine Rolle, an welcher Stelle du modulo rechnest. Es ist auch häufig viel einfacher, erst modulo zu rechnen: $25\cdot 23\mod 3 = 575 \mod 3=2$ geht viel einfacher über $25\mod 3=1$ und $23\mod 3 = 2$ und somit $25\cdot 23\mod 3=1\cdot 2= 2$.   ─   cauchy 28.04.2022 um 20:32

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