Hallo,

in der Musterlösung wird zuerst die Gleichung der \( x_1,x_3\)-Ebene aufgestellt. 


Die \( x_1,x_3 \)-Ebene ist ja die \(x,z\)-Ebene (je nachdem wie man die Achsen beschriftet). Ist das verständlich? 
Wenn du dir nun diese Grafik einmal anguckst, kann man sehen, dass ein Punkt der in der \(x_1,x_3\)-Ebene liegt immer \( x_2=0 \) (\(y=0\)) hat. Ansonsten haben wir keine Einschränkungen in den Koordinaten. Ist das nachvollziehbar?

Deshalb ist es uns möglich, die \(x_1,x_3 \)-Ebene durch die Gleichung

$$ x_2 =0 $$

zu beschreiben. 

Die Schnittgerade zweier Ebenen liegt in beiden Ebenen:



Deshalb verläuft die Schnittgerade automatisch auch parallel zu beiden Ebenen. Nachvollziehbar?

Da die Normalenvektoren senkrecht zu den Ebenen stehen, muss aufgrund der Parallelität der Normalenvektor auch senkrecht zu diesem Richtungsvektor sein. Verständlich?

Also können wir aus dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren den Richtungsvektor bestimmen, denn das Kreuzprodukt zweier Vektoren erzeugt gerade einen Vektor der senkrecht zu beiden Vektoren steht.

Nun brauchen wir nur noch einen Punkt der auf dieser Geraden liegt. 

Wir setzen dafür in der gegebenen Ebene \( x_2 =0 \) und erhalten bei freier Wahl der anderen Variablen einen Punkt der auf beiden Ebenen liegt und somit auch auf der Schnittgeraden.

Macht der Weg nun mehr Sinn?

Bestimmen wir die Schnittgerade vielleicht nochmal über einen anschaulicheren Weg:

Wenn dir nicht klar ist, warum die \( x_1,x_3 \)-Ebene durch \( x_2=0 \) beschrieben werden kann, können wir die Gleichung der Ebene auch "einfach" als Parameterform aufstellen. Kennst du zwei Spannvektoren für die Ebene? Bedenke dafür, welche Koordinatenachsen die Ebene aufspannen. 
Nun brauchen wir nur noch einen Punkt der in der Ebene liegt. Welcher ist am offensichtlichsten?

Haben wir die Parameterform, können wir die Schnittgerade bestimmen. Punkte die auf der Schnittgeraden liegen, müssen beide Ebenengleichungen erfüllen. Also können wir die Parameterform der \(x_1,x_3 \)-Ebene in die gegebene Koordinatenform einsetzen. Ist dir klar, wie du das machen kannst?

Du erhälst dann eine Gleichung, die du nach einen der beiden Parameter aus der Parameterform umstellen kannst. Wenn du die Gleichung umgestellt hast, kannst du sie wieder in die Parameterform einsetzen und erhälst eine Geradengleichung in Parameterform. Das ist deine Schnittgerade.

Klappt dieser Weg vielleicht besser?

Falls Fragen offen sind, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian