Du hast eine Abbildung von N nach R

Ein zweidimensionaler Vektor kann immer auch als Punkt aufgefasst werden, also als x und y Koordinate. in deinem Fall also (n,a(n))
Falls dir das weiterhilft:)

Du hast eigentlich schon die richtige Idee. Die Abbildungen sind genau dann linear unabhängig, wenn $$\lambda_1a+\lambda_2b+\lambda_3c=0\Longrightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.$$ Das ist eine Gleichung von Funktionen, also muss sie für jedes \(n\in\mathbb N\) gelten: $$0=\lambda_1a(n)+\lambda_2b(n)+\lambda_3c(n)=\lambda_1(-1)^n+\lambda_2(n-1)+\lambda_3n^n\Longrightarrow\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.$$ Um jetzt zu zeigen, dass die Funktionen linear unabhängig sind, musst du einige Werte für \(n\) einsetzen (hier z.B. \(n=1,2,3\)) und dann das lineare Gleichungssystem lösen. Wenn dann \((0,0,0)\) die einzige Lösung ist, sind die Abbildungen linear unabhängig. Für \(n=1\) folgt übrigens nicht \(\lambda_2=0\), denn der Term mit \(\lambda_2\) fällt komplett weg, sodass du keine Aussage über \(\lambda_2\) treffen kannst.