Basis einer linearen Hülle angeben

Aufrufe: 76     Aktiv: 06.01.2024 um 16:31

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Hey, es ist folgende Aufgabe gestellt: Ist (v1, v2, v3) eine Basis von Lin(v1, v2, v3)? Wenn nein, geben Sie eine Basis von Lin(v1, v2, v3) an. Wir bewegen uns dabei in F5
Ich bin mir unsicher, ob ich nach der ZSF alles richtig gemacht habe und die lineare hülle wirklich nur aus einem vektor bestehen kann.

Meine Lösung ist folgende: 


MfG
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Student, Punkte: 60

 
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Nein, die Matrix \(A=(v_1,v_2,v_3)\) hat Rang 2, drum muss auch die Basis aus genau 2 Elementen bestehen.
Dass die Matrix A Rang 2 hat, sieht man daran, dass die ZSF eine Nullzeile hat.
Drum ist der Rang = Zeilenanzahl - Anzahl Nullzeilen = 3-1 = 2.

Um die Basis auszurechnen, ist es schlauer, die transponierte Matrix \(A^T = \left(\begin{array}{c} v_1^T \\ v_2^T \\ v_3^T \end{array}\right) \) auf ZSF zu bringen.
Die Zeilen dieser ZSF ohne die Nullzeilen bilden dann eine Basis von \(\mbox{Lin}(v_1,v_2,v_3)\).

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