Komplexer Effektivwert, Scheitelwert...

Aufrufe: 89     Aktiv: 24.06.2021 um 17:16

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Habe ich das richtig verstanden?

 

Bildschirmfoto 2021-06-23 um 20.50.24.png

 

Das rot markierte ist jeweils zusammengehörig.

Das erste ist der Scheitelwert, multipliziert man den Effektivwert mit Wurzel 2 dann erhält man genau diesen.

 

Doch ganz verstehe ich den Zusammenhang noch nicht... ist das soweit richtig gedacht, und wie könnte man das noch erklären?

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Student, Punkte: 98

 
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1 Antwort
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Die Wechselspannung \(\underline{u}(t)\) ist eine komplexe Zahl, die Spannung wird also als Zeiger in der komplexen Ebene dargestellt.
Im zeitlichen Verlauf verändert sich deine Spannung, es handelt sich ja hier um einen sinusförmigen Verlauf.
Dieses Schwingen wird mit dem Teil \(e^{j\omega t}\) dargestellt, denn hiermit hast du eine zeitabhängige Rotation des komplexen Spannungszeigers.

Der rot markierte Teil ist konstant und setzt sich weiter aus zwei Anteilen zusammen. Zum Einen hast du dort die Amplitude der Wechselspannung \(\hat{u}\). Das ist eine reelle Zahl, zum Beispiel \(2\mathrm{V}\). Sie zeigt dir, wie hoch der höchste Punkt des Sinus ist. Das kennst du bestimmt.

Zuletzt muss noch eine initiale Phasenverschiebung der Spannung berücksichtigt werden. Das wird durch den Teil \(e^{j\varphi_u}\) gemacht. Wenn du mit dem Rechnen mit komplexen Zahlen vertraut bist erkennst du schnell: Die Multiplikation mit \(e^{j\varphi_u}\) liefert eine anfängliche Rotation um den Winkel \(\varphi_u\) zum Zeitpunkt \(t=0\)

Diesen ganzen konstanten Teil fasst man nun als \(\underline{\hat{u}}\) zusammen. Möchte man lieber mit dem Effektivwert als Amplitude rechnen muss man durch \(\sqrt{2}\) teilen (bei Sinusform), denn es gilt

\(U_{\text{eff}}=\dfrac{\hat{u}}{\sqrt{2}}\)

Das bedeutet du bekommst \(\underline{u}=\dfrac{\underline{\hat{u}}}{\sqrt{2}}\)

Der rote Teil ist also \(\underline{\hat{u}}=\sqrt{2}\cdot \underline{u}\) und du kannst ersetzen.
Dabei würde dann logischerweise 

\(\underline{u}=\dfrac{\hat{u}}{\sqrt{2}}\cdot e^{j\omega\varphi_u}=U_{\text{eff}}\cdot e^{j\omega \varphi_u}\)

gelten.
Hier noch ein kurzes Video, damit ist das ganze hoffentlich etwas bildlicher: https://www.youtube.com/watch?v=2-mLuZJnqbk 
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Student, Punkte: 2.4K

 

Danke für die sehr gute Antwort!

Um bei dem Beispiel mit den 2 V zu bleiben:
Das unterstrichene u in der letzten genannten Formel wäre dann aber wieder u(unterstrichen) von (t) also zeitabhängig, wenn der Term mit der zeitabhängigen e-Schwingung dazu geschrieben werden würde?

Und wie bzw. wann rechnet man jetzt mit welcher Form? Oder macht es Sinn, immer den Effektivwert anzugeben?

Der Effektivwert wäre demnach in deinem Beispiel am Ende bei ungefähr 1,41 V. Stimmt das soweit? Kann man also immer einfach die Amplitude durch Wurzel zwei teilen und sofort weiter rechnen, ohne die anderen Schritte machen zu müssen?
  ─   mathwork 24.06.2021 um 10:04

"Das unterstrichene u in der letzten genannten Formel wäre dann aber wieder u(unterstrichen) von (t) also zeitabhängig, wenn der Term mit der zeitabhängigen e-Schwingung dazu geschrieben werden würde?" Richtig, sofern du natürlich den Faktor \(\sqrt{2}\) nicht weg lässt, dann hättest du ja wieder \(\underline{u}(t)=\sqrt{2}\cdot\underline{u}\cdot e^{j\omega t}\). Der Betrag, also die Länge des Zeigers entspricht der AMPLITUDE und die darf natürlich nicht der Effektivwert sein, der ist ja kleiner als die Amplitude.

Wann man welche Form benutzt ist eigentlich egal. Kommt meistens drauf an was du gegeben hast. Egal welche Form du benutzt, im Endeffekt steht ja das selbe da. Ob du direkt \(2\mathrm{V}\) schreibst oder stattdessen mit dem Effektivwert \(\sqrt{2}\cdot 1.41\mathrm{V}\) rechnest hängt davn ab was gegeben ist, in Klausuraufgaben bei mir kam beides dran. Aus dem Alltag kennst du vielleicht eher die Angaben mit Effektivwert. Beispiel Haushaltssteckdose. Da gibt man die Spannung mit \(230\mathrm{V}\) an. Der Sinus der bei dir aus der Steckdose kommt hat also eine Amplitude von ca. \(325\mathrm{V}\)

Ja der Effektivwert stimmt, du rechnest einfach die Amplitude durch \(\sqrt{2}\). Wichtig hierbei zu beachten: Das gilt nur bei Sinusförmigen Signalen. Hast du etwas anderes vorliegen, zum Beispiel eine Rechteck- oder Dreiecksspannung gilt das nicht mehr. Da musst du dann selbst rechnen und Integrale bestimmen. Schau mal dazu auf Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Effektivwert , falls es dich nicht zu sehr abschreckt :D

Aber bei einer anderen Signalform könnte man das ganze eh nicht mehr in der gegebenen Form darstellen, das macht man dann mit einer Fourierreihe, aber das würde jetzt zu weit gehen. Das kommt dann später im Studium, jetzt geht es erstmal um die Grundlagen. Schau dir vielleicht auch noch dieses Video hier an: youtube.com/watch?v=EO1gal3onaE , da gibts noch eine Animation die den Zusammenhang zwischen Zeigerrotation und Sinusschwingung verdeutlicht.
  ─   vetox 24.06.2021 um 16:48

Top, danke dir! :)   ─   mathwork 24.06.2021 um 17:16

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