Ich glaube, dass der Schritt zum Ausdruck für $a_n$ zu   $(-1)^2$ oder $1^2$ zwar (vermutlich) richtig, aber etwas zu schnell ist.

Am klarsten wäre es wohl, für gerade und ungerade n eine Fallunterscheidung zu machen, dann den Ausdruck für $a_n$ für gerade $n$ betrachten, komplette $2\pi$ Anteile im Argument wegzulassen, und das nunmehr konstante Ergbnis notieren, dann das gleiche für ungerade $n$  und dann kommt man zu "konstant 1".