Zufallsexperiment

Aufrufe: 580     Aktiv: vor 7 Monaten

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Hey, 

Ich verstehe diese Aufgabe leider nicht...

Beim Basketball trifft Mike mit der Wahrscheinlichkeit 40%,Wim mit 70%. Sie werfen nacheinander.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass sie zusammen 0,1 oder 2 Treffer erhalten?                                                Das habe ich schon berechnet, 0 Treffer =0.18, 1Treffer = 0.54 , 2Treffer = 0.28.

b) Sonja meint, man müsse zur Berechnung des Erwartungswerts einfach 0,4 und 0,7 addieren. Erklären Sie, was sich Sonja dabei denkt. Überprüfen Sie die Aussage.

c) Verallgemeinern sie Sonjas Idee für beliebige Trefferwahrscheinlichkeit and auf drei Spieler.

d) Überprüfen Sie Ihre Verallgemeinerung an einem selbstgewählten Zahlenbeispiel durch eine Rechnung oder eine Simulation.

Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.:)

Liebe Grüße 

 

gefragt vor 7 Monaten
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nina221,
Schüler, Punkte: 10

 
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1 Antwort
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Hey Nina,

ich denke die Frage zielt darauf ab, eine wichtige Eigenschaft des Erwartungswertes, nämlich die Linearität zu betrachten.

Wenn M die Zufallsvariable ist, die die Treffer von Mike zählt und W die Zufallvariable, die die Treffer von Wim zählt (beide Zufallsvariablen sind übrigens Bernoulli-verteilt mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten), dann interessieren wir uns ja in (b) für die Zufallsvariable X = M + W.

Der Erwartungswert einer Bernoulli-verteilten Zufallsvariable ist gerade \( p \). Sonja überlegt sich nun, dass der Erwartungswert der Summe X, also von der Summe von M und W gleich der Summe der einzelnen Erwartungswerte von M und W ist. Deshalb sagt sie ja \( E(X) = 0,4 + 0,7 = 1,1 \)

Du sollst die Aussage nun überprüfen und musst dafür den Erwartungswert der gemeinsamen Treffer berechnen. Du hast ja in (a) schön die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Treffer berechnet. Nun gilt also

\( E(X) = 0,18 \cdot 0  + 0,54 \cdot 1 + 0,28 \cdot 2 = 0 + 0,54 + 0,56 = 1,1 \)

Damit passt diese Vermutung schon einmal.

(c) ist nun also die Verallgemeinerung von dem eben betrachteten Zusammenhang auf beliebige Trefferwahrscheinlichkeiten und 3 Spieler. Haben wir also 3 Spieler \( A, B, C \) mit jeweiligen Trefferwahrscheinlichkeiten \( p_A, p_B, p_C \).

Gemäß der Behauptung von Sonja aus Aufgabe (b) wäre also der Erwartungswert der gemeinsamen Treffer der 3 Spieler: \( p_A + p_B + p_C \).

(d) Diesen Zusammenhang aus (c) sollst du nun rechnerisch überprüfen. Analog zu (a) und (b) kannst du dir nun also Trefferwahrscheinlichkeiten für die 3 Spieler überlegen, also du legst Werte für \( p_A, p_B, p_C \) fest. Anschließend rechnest du wie in A die Wahrscheinlichkeiten für 0, 1, 2 und 3 Treffer aus und berechnest damit dann wie in (b) den Erwartungswert, um zu zeigen, dass auch hier die Vermutung aus (c) bestätigt werden kann.

 

geantwortet vor 7 Monaten
el_stefano
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 4.92K
 
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