Stetigkeit bei hebbarer definitonslücke

Aufrufe: 115     Aktiv: 15.04.2022 um 12:02

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Die Funktion sei: 2x/(x*(x-2))

diese hat bei x=0 eine stetig hebbare Definitionslücke. Bedeutet das, dass die Funktion nicht stetig ist?

Jetzt kann man das x in Zähler und Nenner ja kürzen und erhält damit die Funktion x/(x-2). Diese hat nun ja keine hebbare Derinitionslücke mehr? Kommt daher auch der Name "hebbare Lücke" weil man die Lücke durch das Kürzen behoben hat? Und geht dieses Kürzen immer?

Sollte die alte Funktion vorher bei x=0 nicht stetig gewesen sein, ist dann die neue (gekürzte) Funktion jetzt an dieser Stelle stetig?
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Ja, die alte Funktion war nicht stetig, aber man konnte das Problem sozusagen beHEBEN :D Das geht aber nicht immer und dahinter steckt tatsächlich eine sehr schöne Hebbarkeitstheorie. Man nennt solche Stellen Pole und kann sie nach einigen Kriterien klassifizieren. Oft muss man die Funktion aber im komplexen Verstehen, um ihr Verhalten im reellen zu verstehen.
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Die Funktion $f(x)=\dfrac{2x}{x(x-2)}$ bleibt nicht stetig in $x=0$. Durch das beheben wird die Funktion nicht auf einmal stetig in den Punkt. Es handelt sich dabei ja um eine Definitionslücke welche immer eine Unstetigkeitsstelle ist und bleibt. Durch das "Beheben" ist es jetzt nur möglich $x=0$ in den Term einzusetzen und somit den Punkt zu lokalisieren wo die Funktion diese Lücke aufweist.

Das Kürzen der Nullstelle geht immer nur dann wenn $x$ sowohl eine Nullstelle im Zähler als auch im Nenner ist. Ist $x$ nur eine Nullstelle des Nenners spricht man auch von einer Polstelle. Diese Art der Definitionslücke ist nicht hebbar.

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\(\frac{2x}{x(x-2)}=\frac{2}{x-2}\)
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Die Funktionsvorschrift ist zwar gleich, aber nicht der Definitionsbereich, also sind die Funktionen nicht gleich   ─   mathejean 15.04.2022 um 11:45

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