Quadrik, Drehmatrizen, Winkel "ablesen"

Aufrufe: 68     Aktiv: 03.05.2022 um 22:11

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Guten Abend,

mir ist heute bei der berechnung einer Quadrik etwas aufgefallen, es geht um den Drehwinkel um den der Kegelschnitt gedreht wird, die eigentliche Frage steht ganz unten, vielen Dank für eure Hilfe.

Ich habe folgende Quadrik gegeben:
5x²+4xy+8y²+(14*Sqrt(5)/5)x-(52*sqrt(5)/5)y-11=0
Davon habe ich die Eigenwerte berechnet:
4 und 9
Dann die zugehörigen Eigenvektoren
a=(-2|1) und b=(1|2)

Wenn ich diese jetzt in eine Matrix schreibe (1/sqrt(5)* (b a)) und diese dann mit den Drehmatrizen:
(cos -sin | sin cos) bzw. (cos sin | -sin cos) vergleiche erkenne ich, dass meine aufgestellte Matrix aus den Eigenvektoren der Matrix "ähnelt". Diese hat den mathematisch positiven Drehsinn
Wenn ich nun den arccos( ) von dem ersten Element der ersten Zeile berechne:
arccos(1/sqrt(5) *1) bekomme ich einen Wert um 63°


Wenn ich nun aber statt a einen anderen Eigenvektor nehme z.B.  a*(-1) also (2|-1),  dann meine Matrix aufstelle mit (a b) ähnelt die Matrix dieser Matrix. Diese hat den mathematisch negativen Drehsinn.
Wenn ich nun den arccos( ) von dem ersten Element der ersten Zeile berechne:
arccos(1/sqrt(5) *2) bekomme ich einen Wert um 26°

Da beide Winkel addiert 90° ergeben denke ich, dass einer von ihnen von der x-Achse und der andere von der y-Achse aus losläuft, weil wenn ich beide male von dem selben Punkt (der x-Achse) aus loslaufe komme ich ja nicht zu dem selben Punkt:
Für 26° im math. negativen Drehsinn würde ich die Gerade, die auf der x-achse liegt, in den vierten Quadranten verschieben.
Für 63° im math. pos. Drehsinn würde sich diese ja dann im ersten Quadranten befinden.



Welchen Wert müsste ich denn nehmen wenn ich jetzt die Drehung zu skizzieren soll bzw. von "wo" nach "wo" laufe ich dann bei den Winkeln, also an welcher Achse beginne ich in welchem Fall die Winkel anzutragen?
 
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