Vergleichssatz zu stetig differenzierbaren Funktionen

Aufrufe: 41     Aktiv: 20.04.2021 um 13:33

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Hallo,
ich brauche Hilfe bei der oben stehenden Aufgabe. Dabei weiß ich nämlich nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.

MFG
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Student, Punkte: 107

 

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Setzen wir \(f:=v-u\), dann genügt es, folgendes zu beweisen: Sei \(f\in C^2[A,B]\) mit \(f''\leq 0\) und \(f(A),f(B)\geq0\). Zeige \(f\geq0\).

Wir machen einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, es gäbe einen Punkt \(x\in ]A,B[\) mit \(f(x)<0\). Verwende den Mittelwertsatz der Differentialrechnung, um ein \(\xi_1\in]A,x[\) zu finden mit \(f'(\xi_1)<0\), sowie ein \(\xi_2\in]x,B[\) mit \(f'(\xi_2)>0\). Dann bist du schon fast fertig, denn aus \(f''\leq0\) folgt, dass \(f'\) monoton fällt, und das ist ein Widerspruch zu \(f'(\xi_1)<f'(\xi_2)\).
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