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Dann muss außerdem gelten v+w ist in U und X*(v+w) ist in U
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userf893d3
01.11.2022 um 17:04
und 0 ist in v+U weil U ein UVR ist ?
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userf893d3
01.11.2022 um 17:05
Aus \(0\in v+U\) folgt, es existiert ein \(w\in U\) mit \(0=v+w\). Wir brauchen jetzt ein Argument, dass jetzt \(v\in U\)
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mathejean
01.11.2022 um 17:05
Genau 0 ist in jede UVR!
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mathejean
01.11.2022 um 17:06
Aber v ist doch Automatisch in U laut der Aufgabenstellung
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userf893d3
01.11.2022 um 17:08
Die Aufgabe ist es eine Äquivalenz zu zeigen (gdw). Die Richtung mit \(v\in U\) als Vorraussetzung ist trivial (siehe oben). Jetzt wir zeigen andere Richtung! Also wieso folgt aus \(v+w=0\) mit \(w \in U\) auch \(v\in U\)?
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mathejean
01.11.2022 um 17:10
Vielleicht wegen der Definition eines Unterraums ??? also ich kann addieren und bleibe im UVR.
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userf893d3
01.11.2022 um 17:15
Ja es liegt an UVR-Axiome, z.B. man kann argumentieren, dass wenn \(w\in U\) auch \(-w \in U\) und es ist \(v=-w\) nach Gleichung
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mathejean
01.11.2022 um 17:17
Wäre das dann schon der ganze Beweis ??? Es fehlt doch noch die Multiplikation, oder ??
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userf893d3
01.11.2022 um 17:23
Die Multiplikation haben wir verwendet bei \(w\in U \Rightarrow-w\in U\)
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mathejean
01.11.2022 um 17:24
Super, vielen Dank :)
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userf893d3
01.11.2022 um 17:25