Unterraum Beweise

Aufrufe: 92     Aktiv: 01.11.2022 um 17:25

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Hallo, 

die Aufgabe lautet: $$Sei \: U\subset V ein \: Unterraum \:eines \: K-Vektorraums \: V. Dann \: ist \: fuer \: einen\:fixierten \: Vektor \: v \:\in V \:die \:Menge\: v+U:=\{ v+w\:| w\in U  \} \:ein \:Unterraum \: genau \:dann,\:wenn \:v\in U.$$

Müsste dann ja eigentlich heißen: $$\{ v+w\:| w,v\in U  \} \:ist \:für\: fixierten \:vektor  \: v \:ein \: Unterraum.$$ 

Ich weiß nicht was ein fixierter Vektor ist... Ich zeig einfach mal wie ich es gemacht habe: 

v soll das Nullelement sein. Dann ist die 1. Bedingung eines Untervektorraums erfüllt. 
Außerdem gilt dann v+w = w und w ist ja im Unterraum. Also auch die 2. Bedingung erfüllt. 
Die dritte Bedingung ahbe ich nicht geschaftt zu zeigen. Daher denke ich mal ist meine Herangehensweise falsch :( 

Vielen Dank für die Hilfe
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Student, Punkte: 61

 
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Fixiert heißt \(v \in V\) ist fest. Offensichtlich ist für \(v \in U\) schon \(v+U=U\) ein UVR. Dies zeigt die triviale Implikation. Lass uns nun annehmen \(v+U\) ist ein UVR, dann ist \(0\in v+U\), was folgt jetzt?
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Student, Punkte: 10.27K

 

Dann muss außerdem gelten v+w ist in U und X*(v+w) ist in U   ─   userf893d3 01.11.2022 um 17:04

und 0 ist in v+U weil U ein UVR ist ?   ─   userf893d3 01.11.2022 um 17:05

Aus \(0\in v+U\) folgt, es existiert ein \(w\in U\) mit \(0=v+w\). Wir brauchen jetzt ein Argument, dass jetzt \(v\in U\)   ─   mathejean 01.11.2022 um 17:05

Genau 0 ist in jede UVR!   ─   mathejean 01.11.2022 um 17:06

Aber v ist doch Automatisch in U laut der Aufgabenstellung   ─   userf893d3 01.11.2022 um 17:08

Die Aufgabe ist es eine Äquivalenz zu zeigen (gdw). Die Richtung mit \(v\in U\) als Vorraussetzung ist trivial (siehe oben). Jetzt wir zeigen andere Richtung! Also wieso folgt aus \(v+w=0\) mit \(w \in U\) auch \(v\in U\)?   ─   mathejean 01.11.2022 um 17:10

Vielleicht wegen der Definition eines Unterraums ??? also ich kann addieren und bleibe im UVR.   ─   userf893d3 01.11.2022 um 17:15

Ja es liegt an UVR-Axiome, z.B. man kann argumentieren, dass wenn \(w\in U\) auch \(-w \in U\) und es ist \(v=-w\) nach Gleichung   ─   mathejean 01.11.2022 um 17:17

Wäre das dann schon der ganze Beweis ??? Es fehlt doch noch die Multiplikation, oder ??   ─   userf893d3 01.11.2022 um 17:23

Die Multiplikation haben wir verwendet bei \(w\in U \Rightarrow-w\in U\)   ─   mathejean 01.11.2022 um 17:24

Super, vielen Dank :)   ─   userf893d3 01.11.2022 um 17:25

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