Partikulärer Ansatz für die Störfunktion x+sin(x) bzw. x^2+sin(x)

Erste Frage Aufrufe: 112     Aktiv: 30.06.2022 um 12:47

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Hallo in die Runde. Frage lautet wie in der Überschrift. Habe eine DGL mit der Störfunktion x+sin(x) und eine andere x^2+sin(x). Die homogenen Lösungen sind kein Problem für mich, aber ich weiß bei der partikulären Lösung nicht weiter. Danke im Voraus!
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2 Antworten
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Man braucht für diese zusammengesetzten rechten Seiten keine speziellen neuen Ansätze.
Es geht mit den bekannten Ansätzen wie folgt, am Beispiel Deiner 1. Dgl.:
Finde eine partikuläre Lösung yp1 für die Dgl mit rechter Seite $x$, also $y''.... =x$.
Finde eine partikuläre Lösung yp2 für die Dgl mit rechter Seite $\sin x$, also $y''.... =\sin x$.
Dann ist yp1+yp2 eine partikuläre Lösung für die Dgl $y''.... =x+\sin x$.
Andere Beispiele analog.
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Ich nehme Mal an, dass es sich um eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten handelt. Für die partikulare Lösung macht man den Ansatz
( 1. Storfunktion) \(y_p=ax+d +b \sin x + c \cos x \) . Wenn Resonanz vorliegt, also 0 oder i Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, dann muss der Ansatz jeweils um ein Polynom des Grades der Nullstelle erweitert werden. Alternativ kann man mit "Variation der Konstanten" arbeiten 
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Also um es mal genauer zu machen, ich habe 2 DGL die gelöst werden sollen die wie folgt aussehen:
1. y''-4y'+20y=x+sin(x) und
2. y''+8y'+20y=x^2+sin(x)
Für die 1. DGL wäre der partikuläre Ansatz dann yp=ax+bsinx+ccosx und bei der 2. DGL würde ich vermuten: yp=ax^2+bx+csinx+dcosx ?
  ─   usera0652a 30.06.2022 um 11:20

In deinen Beispielen liegt keine Resonanz vor.
Also kannst du bei 1. ansetzen: \(y_P= ax +d +c \sin x +d \cos x\) oder nach Hinweis von @mikn \( y_P=y_{P1} +y_{P2} \text { mit }y_{P1}=ax+d \text { und } y_{P2}=b \sin x+c \cos x\)
Analog bei 2. \(y_{P1}=a_1x^2+a_2x+a_3 \) und \(y_{P2}=b \sin x +c \cos x\)
  ─   scotchwhisky 30.06.2022 um 12:47

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