Gruppenhomomorphismus zeigen

Erste Frage Aufrufe: 52     Aktiv: 05.07.2021 um 16:10

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Aufgabenstellung: Zeigen Sie, dass fur das Gruppenhomomorphismus ϕ : A → B ϕ(A) eine Untergruppe von B ist.

Die Aufgabe ist aus meiner Klausur, leider ist die Aufgabe als falsch oder unzureichend beantwortet markiert worden.

Im Skript steht nur etwas wodurch ich leider nicht weiterkomme: Das Bild ϕ(G) eines Gruppenhomomorphismus ϕ : G → H ist eine Untergruppe von H
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Student, Punkte: 10

 
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1 Antwort
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Hallo,

du hast dort eigentlich 2x das selbe hingeschrieben. Nur einmal mit A und B und einmal mit G und H.

Welche Kriterien müssen den für eine Untergruppe erfüllt sein? Wie ist ein Gruppenhomomorphismus definiert?

Grüße Christian
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Die Untergruppenkriterien sind: "U ist eine Untergruppe von G genau dann wenn für alle x,y (Element von) U gilt: x * y ^(-1) (Element von) U". Und ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei Gruppen. Ich komme leider trotzdem nicht weiter wie ich das zeigen soll, das wird ja nicht reichen.
  ─   dieeinzigwahre 05.07.2021 um 15:48

Ja das ist doch schon mal gut.
Ein Gruppenhomomorphismus ist wie du schon sagst eine Abbildung zwischen Gruppen mit einer speziellen Eigenschaft. Und zwar lässt die Abbildung die Verknüpfung der Gruppe unverändert
$$ \phi(x \star y) = \phi(x) \star \phi(y) $$
Jetzt kannst du anfangen das zu beweisen. Nehme dir mal $\phi(x) , \phi(y) \in \phi(A)$.
Du musst nun zeigen, dass
$$ \phi(x) \star \phi(y)^{-1} \in \phi(A)$$
  ─   christian_strack 05.07.2021 um 16:10

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