Bernoulli kette

Aufrufe: 527     Aktiv: 27.05.2020 um 12:20

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es werden durch Zufall 10 Zahlen von 1 bis 40 ausspuckt. Gezählt werden die durch 3 teilbaren Zahlen.
Kann man das als eine Bernoulli Kette bezeichnen und wenn ja weshalb? 

jch komme mit der Aufgabe leider gar nicht zu recht kann mir bitte jemand helfen ? 

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Hey Lulu,

was genau sind die entscheidenden Eigenschaften eines Bernoulli Experimentes? - Es darf nur 2 mögliche Ausgänge geben (man spricht meistens von Erfolg oder Nicht-Erfolg) und diese treten immer mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten \( p \), sowie \( 1-p \) ein.

Das n-fache Ausführen von Bernoulli-Experimenten führt dann zur Bernoulli-Kette, oder eben Binomialverteilung. Dabei ist eine weitere Eigenschaft wichtig, nämlich dass alle einzelnen Durchführungen jeweils stochastisch unabhängig voneinander sind.

So viel zur grauen Theorie, schauen wir es uns an deinem Beispiel mal an. Zunächst würde man denken, dass die ausgegebene Zahl nicht zu einer Bernoulli Kette passt, weil es ja 40 verschiedene Möglichkeiten gibt. Jedoch interessiert uns nur, ob die gezogene Zahl durch 3 teilbar ist, oder nicht. Also haben wir hier unsere 2 Ausgänge, die wir unterscheiden. Dabei steht "Die Zahl ist durch 3 teilbar" für "Erfolg" und das ist die Anzahl, die wir zählen wollen. Da es auch keine weiteren Einschränkungen gibt, sind die einzelnen Ziehungen der Zahlen auch unabhängig voneinander. Auch die Wahrscheinlichkeit \( p \) eine durch 3 teilbare Zahl zu ziehen, bleibt immer gleich.

Folglich sind alle Eigenschaften einer Bernoulli-Kette erfüllt. Jetzt musst du nur noch die entsprechenden Parameter \( n \) und \( p \) bestimmen. Die Anzahl der Durchführungen \( n \) steht direkt in der Aufgabenstellung. Es sollen 10 Zahlen gezogen werden, also wird 10 mal das Bernoulli Experiment durchgeführt ( \( n = 10 \) ). 

Nun musst du noch das \( p \) bestimmen, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gezogene Zahl durch 3 teilbar ist. Da scheinbar alle Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen werden können, musst du also zählen, wie viele Zahlen durch 3 teilbar sind von den Zahlen von 1 bis 40. Die Anzahl der durch 3 teilbaren Zahlen musst du dann durch 40 teilen. Das ist dann der relative Anteil der durch 3 teilbaren Zahlen und der gibt dir in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit an.

Anschließend hast du \( n \) und \( p \) bestimmt und kannst damit weitere Berechnung anhand der Formeln der Binomialverteilung durchführen.

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