Die Menge \(M\) selbst ist die Menge \(\mathbb{R}^2\), welche alle Punkte eines zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem beschreibt.  Nimmst du zwei Elemente \(x,y\in M_4\), dann haben sie die Gestalt \(x=\begin{pmatrix}x_1 \\x_2\end{pmatrix}\) mit \(x_1,x_2 \in \mathbb{R}\) sowie \(y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\) mit \(y_1,y_2\in \mathbb{R}\).

Für diese Menge \(M_4=\mathbb{R}^2\) soll die Ordnungsrelation \(x\leq y\) also \(\begin{pmatrix}x_1 \\x_2\end{pmatrix} \leq \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\) genau dann gelten, wenn \(x_1 <y_1\) ist oder, falls mit \(x_1=y_1\) doch der Fall eintreten sollte das \(x_1\) und \(y_1\) gleich groß sind, dann wird geschaut ob \(x_2\leq y_2\) erfüllt ist.

Beispiele:

(1) Seien \(x=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) und \(y=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\). Dann gilt \(x_1=1 <2=y_1\). Somit greift die erste Bedingung und es gilt \(x\leq y\).

(2) Seien \(x=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) und \(y=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\). Dann gilt \(x_1=1=1=y_1\). Nun wird geprüft \(x_2=1< 2=y_2\). Somit greift dur zweite Bedingung und es gilt \(x\leq y\).

(3) Seien \(x=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) und \(y=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\). Dann gilt \(x_1=1=1=y_1\). Nun wird geprüft \(x_2=1>0=y_2\). Somit greift die zweite Bedingung nicht und es gilt \(x\not\leq y\).

(4) Seien \(x=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) und \(y=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\). Dann gilt \(x_1=1>0=y_1\). Somit greift die erste Bedingung nicht und es gilt \(x\not \leq y\).

Du kannst dir gern noch weitere Beispiele Überlegen. Wie gesagt die Menge ist klar geregelt, aber die Relation wird durch die Äquivalenz erklärt und man kann sich nun anhand einiger Beispiele vor Augen führen, wann die Relation greift.

Hoffe das hilft dir weiter.