Sei \(n\) der Grad des Polynoms \(f\), also der höchste vorkommende Exponent, und \(a\) der Koeffizient vor dem \(x^n\), der sog. Leitkoeffizient. Generell gilt, dass \(ax^n\) schneller wächst als alle Monome mit kleinerem Grad, deshalb muss man nur das Leitmonom betrachten. Wenn du weißt, wie die Graphen von \(x\), \(-x\), \(x^2\) und \(-x^2\) aussehen, kannst du anhand von Vorzeichen des Leitkoeffizienten und Parität des Grades dir die Grenzwerte sehr einfach überlegen. Ich drösel es trotzdem noch mal auf:

1. Ist \(n\) gerade und \(a>0\), dann gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty\), genau wie bei \(x^2\).
2. Ist \(n\) gerade und \(a<0\), dann gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\), genau wie bei \(-x^2\).
3. Ist \(n\) ungerade und \(a>0\), dann gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\) und \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\), genau wie bei \(x\).
4. Ist \(n\) ungerade und \(a<0\), dann gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty\), genau wie bei \(-x\).

Wenn du also ein Polynom gegeben hast, musst du nur Grad und Leitkoeffizient ablesen und dann prüfen, welcher der vier Fälle zutrifft. Die Beispielpolynome, die ich angegeben habe, sind als Merkhilfe gedacht, evtl. kannst du die Fälle dann besser unterscheiden.

\( 10^{10}-7x^7+25x=x^7*( \frac{10^{10}}{x}-7+\frac{25}{x^6}) \) 

Nun kannst Du leicht einsehen, dass in der Klammer der erste sowie der dritte Summand gegen 0 gehen. Die ganze Klammer geht also gegen -7.

\(  x^7 \) geht gegen +\( \infty  \), wenn x gegen \(  + \infty  \) geht.