Grenzwert von x^2/sinh^2(x)

Aufrufe: 846     Aktiv: 09.06.2020 um 14:00
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Hallo, ich soll zeigen dass die oben genannte Funktion einen Grenzwert für x gegen 0 besitzt und daraus folgern dass die Funktion eine stetige Fortsetzung hat... Wie komme ich auf diesen Grenzwert???

 

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Das ist ein Fall für die Regel von de l'Hospital. Siehe mein Video. 

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Die Vermutung hatte ich auch. Jedoch haben wir lHospital noch nicht eingeführt. Mein Prof hat gemeint wir sollen das mit der Potenzreihendarstellung des sinus hyperbolicus und einer Restgliedabschätzung machen...   ─   felixwaldherr420 09.06.2020 um 12:31

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Professorrs wurde bereits informiert.
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Hattet ihr schon die Regel von l'Hospital?
Dein x^2 -> 0 für x -> 0 und dein sinh^2(x) -> 0 für x -> in0
Somit darfst du l'Hospital anwenden: Also Zähler und Nenner ableiten und dann den Grenzwert für x gegen 0 betrachten.
Also lim x -> 0 von 2x/(2 cosh(x) sinh(x)) = 1

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Okay dann die Antwort vergessen! Dein Kommentar war noch nicht geschrieben als ich die Antwort abgeschickt habe! ;)   ─   kallemann 09.06.2020 um 12:33
Die Ableitung des Zählers ist `2x`, nicht `x`.   ─   digamma 09.06.2020 um 13:22
Verschrieben, Antwort ist angepasst, danke! :)   ─   kallemann 09.06.2020 um 13:53

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Nun, mit Reihenentwicklung geht das auch, aber was soll eine Restgliedabschätzung dabei. Da Du x->0 untersuchst benötigst Du nur die ersten Glieder der Taylorreihe (genau genommen nur das erste!).

Dann gilt \( \sinh(x) = x +x^3 \) und Dein Grenzwert ist der Grenzwert von \( x^2/(x+x^3) =x/(1+x^2) \), was null ergibt. Wie gesagt: das x^3 hätte ich auch weglassen können.

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ich habe oben den satz eingefügt den wir wahrscheinlich benutzen sollen... hilft das weiter?

   ─   felixwaldherr420 09.06.2020 um 12:51
okay ich habe jetzt einfach mal den sinh als verknüpfungen von e^x geschrieben und durch das quadrat komme ich am ende auf $x^2 * 2$ und das geht ja für x gegen null auch einfach gegen null

ist das okay?   ─   felixwaldherr420 09.06.2020 um 13:13
@professorrs: Im Nenner steht nicht sinh(x), sondern `sinh^2(x)`.   ─   digamma 09.06.2020 um 13:18
@felixwaldherr420, wo kommt der Faktor 2 her? Die Reihe von `sinh^2(x)` beginnt mit `x^2`.   ─   digamma 09.06.2020 um 13:20
Ich habe den sinh als (e^x - e^-x)/2 geschrieben und dann gesagt dass sinh^2 = (e^2x -2e^0 + e^-2x)/4 also ich habe einfach binomische formel gemacht
und dann in meinen term eingesetzt dann steht da 4/ e^2x +e^2x und wenn x gegen null werden die e terme jeweils 1 oder nicht??
   ─   felixwaldherr420 09.06.2020 um 13:22
Nein, 4/ e^2x +e^2x ist falsch. Wo ist das Minuszeichen im Exponent vom letzten Summanden geblieben? Und wo der e^0-Term? Der Ansatz mit der Darstellung durch die e-Funktion bringt nicht viel. Du brauchst die Reihe von sinh.   ─   digamma 09.06.2020 um 13:28
Nochmal dazu: `e^(2x)` beginnt mit `1 + (2x) + 1/2 (2x)^2`, `e^(-2x)` beginnt mit `1 + (-2x) +1/2(-2x)^2`. Zusammen ergibt das
`(e^(2x) -2e^0 + e^(-2x))/4 = 1/4 * (1 +2x + 2x^2 - 2 + 1 - 2x -2x^2 +...) = x^2 + ...`   ─   digamma 09.06.2020 um 13:31
ich hab mich schon gewundert warum das so geklappt hat bei mir. okay also schreibe ich die reihendarstellung. aber könnte ich dann nicht einfach dass x^2 aus dieser reihe rausziehen und dann geht der grenzwert gegen 1?
bzw was ist überhaupt dieser grenzwert xD   ─   felixwaldherr420 09.06.2020 um 13:32
Ganz genau. Ja, der Grenzwert ist 1.
Und die Abschätzung brauchst du eigentlich nur um rigoros zu argumentieren, dass du die unendlich vielen restlichen x-Potenzen im Nenner ignorieren kannst.   ─   digamma 09.06.2020 um 13:35
Perfekt. Ich danke dir/ihnen sehr... war echt schon am verzweifeln :D
   ─   felixwaldherr420 09.06.2020 um 13:36
ganz kurze frage
haben sie vlt eine idee wie ich dieses x^2/sinh^2 als potenzreihe darstellen kann
   ─   felixwaldherr420 09.06.2020 um 13:58
Dividieren von Potenzreihen. Ist meines Wissens nicht so einfach.   ─   digamma 09.06.2020 um 14:00

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