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Guten Abend liebe Leute,

Ich suche eine Möglichkeit bei gegebener Verteilung mit dem jeweiligen Parameter bereits nur aus dem Parameter anhand der Überlegung des zentralen Grenzwertsatzes die Parameter \( \mu \) und \( \sigma \) der Normalverteilung ableiten zu können.

In diesem Fall handelt es sich um \( X-Exponential(\frac{1}{2}) \) 


Es sind verschiedene Lösungen vorgeschlagen ich würde jedoch das zugrundeliegende Vorgehen verstehen: Wie kann ich mü und sigma finden aus jeder (der üblichen) Verteilungen?

Wie kann ich mü und sigma in diesem Fall finden?

Herzliche Grüße

Benjamin
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Student, Punkte: 135

 

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Hallo Benjamin,

Das \(\mu\) und das \(\sigma\) bezieht sich bereits auf den Erwartungswert und die Standardabweichung einer der gegebenen Variablen. Das heißt man muss in dem Beispiel nur Erwartungswert und die Standardabweichung der Exponentialverteilung kennen.

Zuerstmal brauch man ja mehrere identisch verteilte Zufallsvariablen, damit der Satz angewendet werden kann. Es gilt wahrscheinlich:

\(X_1,X_2,\dots\sim \operatorname{Exp}(\frac12)\ \mathrm{iid.}\)

und daher \(E(X_1)=2\) und \(Var(X_1)=4\).

Nun kann man für die Summe \(S_n:=X_1+X_2+\dots+X_n\) sagen, dass sie für große n normalverteilt ist und zwar mit folgenden Parametern: \(S_n\sim N(n\mu,n\sigma^2)\)

Hierbei ist nun \(\mu=E(X_1)\) und \(\sigma=\sqrt{Var(X_1)}\)
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Ja danke sehr. Macht natürlich Sinn.

\( \mu = 2 \) und \( \sigma=4\) habe ich jetzt auch herausgefunden.

Den Schritt \( \mu = E[X_1] ; \sigma=\sqrt{Var(X_1)} \) verstehe ich allerdings insofern nicht, weil die Lösungsmöglichkeiten bei mir folgendermaßen aussehen:

\( N(2,1/500) \)
\( N(1/2,1/50) \)
\( N(2,1/50) \)
\( N(1/2,1/500) \)
Die Samplesize ist \( 10000 \)
Das \( \mu =2 \) ist, ist klar soweit. Aber wie kommen diese Werte von Sigma zustande?
  ─   benitodilorenzo vor 6 Tagen, 20 Stunden

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Das scheint die Verteilung des arithmetischen Mittels zu sein, das gesucht ist. Dann ist das erste richtig. Zwei Korrekturen: \(\sigma=2\) und \(n=1000\).

\(\sigma_X^2=Var(X)\) gilt immer per definition, deswegen dieser Term mit der Wurzel.
  ─   holly vor 6 Tagen, 17 Stunden

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