Mit der Annahme, dass \(B,x,c\in\Bbb{R}\):

Umschreiben:

\(\int B*e^{(x+u)*\ln(c)}du=\int B*c^{x+u}du\)

Substituieren:

\(s=x+u\)       \(\frac{ds}{du}=1\)       \(dx=ds\)

\(\int B*c^sds=B*\frac{1}{\ln(c)}*c^s+C\)

Rücksubstituieren:

\(\int B*e^{(x+u)*\ln(c)}du=\frac{B}{\ln(c)}*c^{x+u}+C\)

Jetzt nur noch die Grenzen einsetzen und fertig:

\(\int\limits_0^t B*e^{(x+u)*\ln(c)}du=\frac{B}{\ln(c)}*(c^{t+x}-c^x)\)

Der Trick ist, mit den Logarithmengesetzen zu arbeiten. Nach diesen gilt:

\(a^{n*m}=({a^n})^m\)

Das selbe funktioniert mit deinem Ausdruck:

\(e^{(x+u)*\ln(c)}=(e^{\ln(c)})^{(x+u)}\)

Der natürliche Logarithmus im Exponenten hebt sich mit der Basis \(e\) auf.

\(e^{\ln(c)}=c\)

Daraus folgt:

\(e^{(x+u)*\ln(c)}=(e^{\ln(c)})^{(x+u)}=c^{(x+u)}\)

Am Ende habe ich es nur wieder in der alten Form hingeschrieben, damit die Ausgangsfunktion nicht in Vergessenheit gerät. Ich hätte auch anders weiter schreiben können:

\(\int B*e^{(x+u)*\ln(c)}du=\int B*c^{x+u}du\)

Wenn du den Exponenten ausmultiplizierst und das Potenzgesetz a^(n+m)=a^n*a^m anwendest, dann kannst du deinen Funktionsterm wie folgt umformen:

           B*e^((x+u)*ln(c))=B*e^(ln(c)*x)*e^(ln(c)*u).

Die ersten beiden Faktoren des Produkts, also B und e^(ln(c)*x) sind - da u die Integrationsvariable ist - konstant, weswegen du dich nur um den Faktor e^(ln(c)*u) kümmern musst! Eine einfache Anwendung der Kettenregel ist, dass (1/a)*e^(a*x) eine Stammfunktion von e^(a*x) ist. Die Stammfunktion von e^(ln(c)*u) lautet somit (1/ln(c))*e^(ln(c)*u). Insgesamt lautet die Stammfunktion aufgrund der Faktorregel somit

           (1/ln(c))*B*e^(ln(c)*x)*e^(ln(c)*u).

Zu Erinnerung nochmal die Faktorregel. Sie lautet: Ist F(u) eine Stammfunktion von f(u) und k eine Konstante, dann ist k*F(u) Stammfunktion von k*f(u). Die Konstante k ist in deinem Fall k=B*exp(ln(c)*x) und die Stammfunktion von exp(u) ist wieder exp(u).

P.S. Hier zu substituieren funktioniert zwar, ist meines Erachtens aber nicht sinnvoll, da man nicht von der Basis e auf eine andere Basis (hier c) wechseln möchte und zudem verstellt die Substitution den Blick auf eine insgesamt gar nicht so schwierige Aufgabe ...