Kombination mehrerer Urnen

Erste Frage Aufrufe: 43     Aktiv: 28.05.2021 um 22:37

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Hallo Zusammen, ich habe eine Aufgabe für die Kombinationen mehrerer Urnen und komme hier nicht weiter:

Aufgabe:

In zwei Urnen liegen je N-1 weiße Kugeln und eine rote Kugel. Wir ziehen aus beiden Urnen blind ohne Zurücklegen je n Kugeln (n < N). Dann legen wir sämtliche 2N Kugeln in eine Urne und ziehen daraus blind 2n Kugeln, wieder ohne Zurücklegen.

Bei welchem der beiden Ziehungsvorgänge ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass sich (min) eine rote Kugel unter den gezogenen befindet?

Ansatz: 

Für eine Urne wäre nun mein Ansatz über das Gegenereignis zu gehen, also: 

P("mind. 1 rote Kugel") = 1-  \frac {N-n} {N}

Ich verstehe hier allerdings nicht, wie man nun die zwei Urnen kombiniert, also bei der Urne mit den 2N Kugeln die Wahrscheinlichkeit herausfindet. Kann mir hier jemand weiterhelfen? Vielen Dank!

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Dein Ansatz ist nur dann richtig, wenn du 1 mal ziehst, du ziehst aber ja n mal, dafür benötigst du die Hypergeometrische Verteilung (verlinkt), mit der erkennst du dann, dass für eine Urne die Wahrscheinlichkeit \(1 - \frac{\binom{1}{N}\cdot\binom{N-1}{n}}{\binom{N}{n}}\), für 2 Urnen gilt dann lediglich die Addition, also ist die Wahrscheinlichkeit für das erste Ereignis \(P(E_1) = 2 \cdot (1 - \frac{\binom{1}{N}\cdot\binom{N-1}{n}}{\binom{N}{n}})\). Beim zweiten hast du dann die Urne mit beiden vermengt, also 2N Kugeln, davon sind 2 rot und 2N - 2 weiß, weiter wird 2n mal gezogen. Daraus folgt eine Wahrscheinlichkeit  \(P(E_2) = 1 - \frac{\binom{2}{2N}\cdot\binom{2N-2}{2n}}{\binom{2N}{2n}}\).

Die beiden Terme musst du jetzt vergleichen.
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Hi cedricr, vielen Dank schonmal für deine Anwort! Ich habe hierzu eine Frage:

1 über N --> hier verstehe ich das N nicht -> sollte hier nicht 1 über 0 stehen? N ist ja die gesamtanzahl an kugeln
Bei 2 über 2N genau das gleiche, also zwei über 0?


Verstehst du was ich meine? Oder denke ich hier falsch
  ─   randomize 27.05.2021 um 17:59

Die hypergeometrische Verteilung ist ja wie folgt definiert:
\(P_k(N,M,n) = \frac{\binom{M}{N}\cdot\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}\)
dabei ist N die Zahl der Kugeln, M=1 die Zahl der Roten Kugeln und N-M = N-1 die Zahl der Weißen. Es wird n mal gezogen und k=0 soll Rot gezogen werden.
Im Beispiel ist es also \(P = \frac{\binom{1}{N}\cdot\binom{N-1}{n}}{\binom{N}{n}}\)
Also nicht \(\binom{1}{0}\).
Hoffe das erklärt das und sorry, das es so spät kam, hatte selber etwas Schulstress.
  ─   cedricr 28.05.2021 um 22:37

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