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Die Frage "warum \(X^2\)?" kann ich nur damit beantworten, dass der Autor des Buches das so definiert hat, weil er zeigen wollte, dass unkorelliert nicht das gleiche wie unabhängig ist und das ein Gegenbeispiel ist. Das ist einfach nur ein Beispiel, es gibt dafür also keinen besonderen Grund.
Für die Wahrscheinlichkeit gilt $$P(Y=1)=P(X^2=1)=P(X\in\{-1,1\})=P(X=-1)+P(X=1)=\frac13+\frac13=\frac23.$$
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stal
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Okay. Ist das eine allgemein gültige Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit?
─
hias29
07.01.2021 um 13:45
\(P(Y=1)=P(X^2=1)\): hier habe ich einfach nur die Definition von \(Y\) eingesetzt.
\(P(X^2=1)=P(X\in\{-1,1\})\): wenn \(X^2=1\) gilt, muss \(X\) entweder den Wert \(-1\) oder \(1\) annehmen, denn das sind genau die reellen Zahlen, die quadriert \(1\) ergeben.
\(P(X\in\{-1,1\}=P(X=-1)+P(X=1)\): Das ist die einzige "allgemein gültige Formel", die Additivität von Wahrscheinlichkeiten. Sind \(A,B\) disjunkte Ereignisse, dann gilt \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\). Hier ist \(A=\{X=-1\}\) und \(B=\{X=1\}\).
Dann werden nur noch die bekannten Wahrscheinlichkeiten aus der Verteilung von \(X\) eingesetzt und ausgerechnet. ─ stal 08.01.2021 um 09:28
\(P(X^2=1)=P(X\in\{-1,1\})\): wenn \(X^2=1\) gilt, muss \(X\) entweder den Wert \(-1\) oder \(1\) annehmen, denn das sind genau die reellen Zahlen, die quadriert \(1\) ergeben.
\(P(X\in\{-1,1\}=P(X=-1)+P(X=1)\): Das ist die einzige "allgemein gültige Formel", die Additivität von Wahrscheinlichkeiten. Sind \(A,B\) disjunkte Ereignisse, dann gilt \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\). Hier ist \(A=\{X=-1\}\) und \(B=\{X=1\}\).
Dann werden nur noch die bekannten Wahrscheinlichkeiten aus der Verteilung von \(X\) eingesetzt und ausgerechnet. ─ stal 08.01.2021 um 09:28
Jetzt habe ich es verstanden.
Vielen Dank dafür! ─ hias29 11.01.2021 um 14:36
Vielen Dank dafür! ─ hias29 11.01.2021 um 14:36