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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass \( Q:=\left(\bar{\lambda}, \sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}^{-1}\right) \) in der konvexen Hülle der Punkte \( P_{1}, \ldots, P_{n} \) mit \( P_{i}=\left(\lambda_{i}, \lambda_{i}^{-1}\right) \), \( i=1, \ldots, n \) enthalten ist, und schlussfolgern Sie hieraus \( \sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}^{-1} \leq \frac{\lambda_{1}+\lambda_{n}-\bar{\lambda}}{\lambda_{1} \lambda_{n}} \)

 

Ich bin mir nicht sicher, ob ich dabei so richtig vorgegangen bin:
\( Q=\left(\bar{\lambda}, \sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}^{-1}\right) \) wobei \( \bar{\lambda} \) der gewichtete Durchschnitt der \( \lambda_{i} \) mit den Gewichten \( \gamma_{i} \) ist, d.h., \( \bar{\lambda}=\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i} \) und es gilt \( \sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i}=1 \) und \( \gamma_{i} \geq 0 \) für alle \( i \).
Daraus folgt doch eine konvexe Kombination der Punkte?: \( Q=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}, \sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}^{-1}\right) \)

Dann hätte ich mir gedacht, dass ich mit der Jensensche Ungleichung weiter machen kann:

\( \left(\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}\right)^{-1} \leq \sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}^{-1} \)
Da \( \bar{\lambda}=\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i} \): \( \bar{\lambda}^{-1} \leq \sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}^{-1} \)
Da \( \lambda_{1} \leq \bar{\lambda} \leq \lambda_{n} \) gilt: \( \frac{1}{\lambda_{n}} \leq \frac{1}{\lambda} \leq \frac{1}{\lambda_{1}} \)

Multiplizieren mit \( \lambda_{1} \lambda_{n} \): \( \lambda_{1} \leq \frac{\lambda_{1} \lambda_{n}}{\bar{\lambda}} \leq \lambda_{n} \)
Subtrahieren von \( \bar{\lambda} \) von jedem Teil der Ungleichung: \( \lambda_{1}-\bar{\lambda} \leq \frac{\lambda_{1} \lambda_{n}}{\bar{\lambda}}-\bar{\lambda} \)
Dies führt zu: \( \lambda_{1}-\bar{\lambda} \leq \frac{\lambda_{1} \lambda_{n}-\bar{\lambda}^{2}}{\bar{\lambda}} \)
Multiplizieren mit \( \frac{1}{\lambda_{1} \lambda_{n}} \): \( \frac{\lambda_{1}-\bar{\lambda}}{\lambda_{1} \lambda_{n}} \leq \frac{\lambda_{1}+\lambda_{n}-\bar{\lambda}}{\lambda_{1} \lambda_{n}}-\frac{\bar{\lambda}}{\lambda_{1} \lambda_{n}} \)

Kann ich hierbei so vorgehen (und ergibt das bis jetzt so einen Sinn?)?

EDIT vom 17.12.2023 um 19:27:

Aufgabe 2:

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Es fehlen hier Voraussetzungen: Ist klar, dass $\lambda_i \ge 0$? Ist klar, dass $\bar\lambda$ der mit den $\gamma$'s gewichtete Durchschnitt ist? Ist klar, dass die $\gamma$'s die von Dir genannte Eigenschaft aufweisen? Alle diese Angaben fehlen hier. Denk dran: "Vor.:... Beh.:.... Beweis:" ist das Muster.
Sei dann $\lambda_1\le\lambda_2\le ...\le\lambda_n$ (diese Voraussetzung hast Du anscheinend gewählt (kann man machen),  oder ist das gegeben? Auch das ist unklar).
Ich verstehe nicht, wie Du von der vorletzten auf die letzte Zeile kommst.
Die letzte Zeile erhält man ohne große Herleitung direkt aus $\lambda_n-\bar\lambda\ge 0$.
Nochmal: Liefere die vollständige Aufgabenstellung, lass nichts weg. Nichts.
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Hallo mikn,
Erstmal Danke für deine Antwort :)

Ich habe die VOLLSTÄNDIGE AUFGABENSTELLUNG geliefert - warum sollte ich auch etwas weglassen, dass wäre doch komplett Sinnbefreit, wenn ich eine konstruktive Hilfestellung benötige?

\( \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \ldots \leq \lambda_{n} \) - das habe ICH so gewählt.

Die Verwendeten Vorrausetzungen sind:
- \( \lambda_{i} \geq 0 \) für \( i=1, \ldots, n \)
- \( \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \ldots \leq \lambda_{n} \)
- Die Punkte \( P_{i}=\left(\lambda_{i}, \lambda_{i}^{-1}\right) \) sind gegeben.
- \( \bar{\lambda} \) ist als der gewichtete Durchschnitt der \( \lambda_{i} \) mit den Gewichten \( \gamma_{i} \) definiert: \( \bar{\lambda}= \) \( \sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i} \)
- Die Gewichte \( \gamma_{i} \) erfüllen die Bedingung \( \sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i}=1 \) und \( \gamma_{i} \geq 0 \) für alle \( i \).

Die Ungleichung \( \lambda_{n}-\bar{\lambda} \geq 0 \) ist doch direkt aus der Definition des gewichteten Durchschnitts \( \bar{\lambda}=\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i} \) ersichtlich? Hab ich die Aufgabe dann richtig gezeigt, wenn ich nun hiermit auf \( \frac{\lambda_{n}-\bar{\lambda}}{\lambda_{1} \lambda_{n}} \geq \frac{\lambda_{1}+\lambda_{n}-\bar{\lambda}}{\lambda_{1} \lambda_{n}}-\frac{\bar{\lambda}}{\lambda_{1} \lambda_{n}} \) umforme?

LG Euler

  ─   euler03 16.12.2023 um 21:03

Wir sind schon wieder nah an der Diskussion vom letzten Mal.
Wenn die Vor. über die $\gamma_i$ nicht genannt ist, darf man sie nicht annehmen. Ebenso was ist $\bar\lambda$? Selbst annehmen darf man nichts.
Die Aufgabe ist also wiederum nicht klar gestellt. Umformungen sind kein Beweis. Am Ende des Beweises muss die Beh. stehen. Wenn nicht (wie bei Dir), ist der Beweis nicht komplett.
Poste mal die ganze Seite, auf der diese "Aufgabe" steht als Foto.
  ─   mikn 16.12.2023 um 21:56

Hallo mikn,
Habe gerade das Foto hinzugefügt. Außerdem darf ich (habe ich nachgefragt) folgendes Verwenden:
\( 0<\lambda_{1} \leq \ldots \leq \lambda_{n} \) die Eigenwerte der symmetrischen und positiv definiten Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \)
  ─   euler03 17.12.2023 um 19:34

Ok, jetzt haben wir also doch Angaben zu $\gamma_i$, die man wohl (vermutlich, nicht sicher) aus der Voraufgabe übernehmen soll, genau wie die Def. von $\bar\lambda$. Und nun zauberst eine neue Voraussetzung herbei, die nirgendwo steht, mit einer Matrix, über die keiner was weiß. Steht vermutlich ganz oben drüber, genauso wie die Def. von F.
Was ein Durcheinander.
  ─   mikn 17.12.2023 um 19:45

Na prima. Nachdem Du uns hier Zeit und Mühen kostest, weil Du trotz mehrfacher Aufforderung nicht die vollständige Aufgabenstellung postest, gehst Du zu mathelounge und auf einmal kannst Du dort sogar die vollständige Aufgabenstellung posten. Dann noch viel Erfolg.   ─   mikn 17.12.2023 um 21:14

Hallo mikn,
Ich wollte dich hier keinesfalls verärgern!

Mir war einfach nicht klar, wie direkt diese Aufgaben zusammenhängen (ich habe diese viel zu gesondert betrachtet). Dennoch habe ich alle erforderlichen Informationen genannt (wenn auch nicht gleich in der Frage).

Wie in der ersten Aufgabe reden wir einfach aneinander vorbei (das ist ja wohl von uns beiden nicht böse gemeint) - wenn mir aber selbst nicht klar ist, was ich genau falsch mache oder was genau verwendet werden darf, kann ich es halt auch schlecht gezielt mitteilen (aber genau dazu gibt es doch solche Foren - um im Optimalfall gemeinsam die Lösung zu erarbeiten, was halt manchmal nicht immer ganz so einfach ist :) )!

Außerdem muss ich aber noch DEUTLICH SAGEN, dass ich die hier gestellte Frage zur 2 AUFGABE in keinem anderen Forum gestellt habe (eine andere der drei streite ich ehrlicherweise nicht ab - zu diesen habe ich aber hier auch nichts gefragt) - bitte schau dir das genau an, bevor du da irgendwas behauptest (davon abgesehen gibt es in jedem Matheforum mehrerer User die Euler in ihrem Nickname tragen - allein davon auf etwas zu schließen ist auch gefährlich). Unsere Aufgaben sind sehr oft mit sporadischen Anweisungen gestellt - da kann ich auch nichts dafür!

Ansonsten schöne Weihnachtszeit,
LG Euler
  ─   euler03 20.12.2023 um 21:36

Halten wir mal die Fakten fest:
1. es fehlten Voraussetzungen, das hab ich direkt angemerkt, Du hast das mit Entrüstung zurückgewiesen (lies oben noch mal nach.... Großbuchstaben... sinnbefreit...). Es war Dir also klar, dass nichts fehlt, sonst tritt man ja nicht so entrüstet auf. Also: "mir war einfach nicht klar..." stimmt nicht.
2. Die Voraussetzung mit F hast Du bis jetzt hier nicht genannt.
3. Ich hab mir sehr genau überlegt, was ich behaupte. Insb. hab ich nirgendwo behauptet, dass Du dieselbe Aufgabe nochmal stellst. Ich hab also nicht "irgendwas behauptet". Wieder Großbuchstaben, ohne genau zu lesen.
4. Die Aufgabe in der Gesamtheit enthält keine "sporadischen Anweisungen", sondern ist in sich vollständig.
Überall weist Du die Schuld von Dir. Wir reden hier nicht aneinander vorbei, sondern Du behauptest Sachen, die nachweislich nicht stimmen. Schlechte Einstellung, wenn man Beweise erarbeiten will.
Ich weiß Du willst mich nicht ärgern.
  ─   mikn 20.12.2023 um 22:37

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