Zeigen Sie: eine Menge $A \subset \mathbb{R}^d$ ist Lebesgue-messbar genau dann,

Aufrufe: 215     Aktiv: 02.11.2023 um 21:53
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Zeigen Sie: eine Menge $A \subset \mathbb{R}^d$ ist Lebesgue-messbar genau dann, wenn es zu jedem $\epsilon>0$ eine offene Menge $O \supseteq A$ und eine abgeschlossene Menge $I \subseteq A$ gibt mit $\lambda_d(O \backslash I)<\epsilon$.

Hinrichtung: Sei A Lebesque Messbar, dann gilt:  Für jede Lebesguemenge A gibt es eine $F_\sigma$-Menge $F$ und eine $G_\delta$-Menge $G$ mit $F \subseteq A \subseteq G$ und $\lambda(F)=\lambda(A)=\lambda(G)$.
Dann betrachte ich $\lambda(G\F)=\lambda(G)-\lambda(F)=0$ und damit kleiner Epsilon. Wobei $G=O$und $F=I$

Geht das so?
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Ja die Hinrichtung ist so korrekt, vorausgesetzt du hast bewiesen, dass solche $F_\sigma$ und $G_\delta$ Mengen existieren.
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Ja haben wir. Bei der rückrichtung hänge ich etwas. Hast du da nen Tipp? Geht das über den selben Satz oder muss man diesen mit lambda (A) = inf(offener menge)=sup(abgeschlossener Menge) nehmen?   ─   ramy69 02.11.2023 um 07:22
Bei der Rückrichtung weisst du aus der Annahme, dass es eine Folge von offenen Mengen $O_n$ und abgeschlossenen Mengen $I_n$ gibt mit $I_n\subset A\subset O_n$, so dass $\lambda(O_n\setminus I_n)<\frac{1}{n}$. Nun kannst du z.b. $O:=\bigcap_{n=1}^\infty O_n$ und $I:=\bigcup_{n=1}^\infty I_n$. Dann gilt immer noch $I\subset A\subset O$ und $I,O\in \mathcal{B}(\Bbb{R}^n)$. Nun kannst du $A=I\cup(A\setminus I)$ schreiben. Was weisst du über die Mengen $I$ und $A\setminus I$? Wo liegen sie, was ist ihr Mass?   ─   karate 02.11.2023 um 08:03
I ist messbar oder? Wo sie liegen und was ihr maß ist bin ich mir gerade nicht sicher was du damit genau meinst. A\I ist eine Nullmenge oder?   ─   ramy69 02.11.2023 um 15:07
Naja da A\I Nullmenge ist A eine Vereinigung abzählbarer abgeschlossener Mengen und damit messbar   ─   ramy69 02.11.2023 um 15:33
ja genau $\lambda(A\setminus I)=0$ aber das nur, weil $A\setminus I\subset O\setminus I$ und $\lambda(O\setminus I)=0$. Und da $F\in \mathcal{B}(\Bbb{R}^n)$ ist $A$ lebesgue
   ─   karate 02.11.2023 um 21:53

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