Hallo,

wir können ein Polynom durch Linearfaktoren darstellen:

$$ p(x) = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n) $$

Die Linearfaktoren entsprechen dann den Nullstellen. Um nun an die anderen Nullstellen zu gelangen, wollen wir ein Polynom konstruieren, das alle anderen Nullstellen noch hat, außer diese die wir loswerden wollen. Deshalb teilen wir durch die Nullstelle die wir schon kennen, um sie loszuwerden

$$ \frac {p(x)} {(x-x_1)} = \frac {x-x_1} {x-x_1} \cdot (x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n) = (x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n) = q(x) $$

\( q(x) \) hat nun genau die gleichen Nullstellen wie \( p(x) \), nur das \( p(x) \) die Nullstelle \( (x-x_1) \) mehr hat.

Anmerkung: Ich habe der Einfachheit halber oben angenommen, dass das Polynom \( p(x) \) komplett in Linearfaktoren zerfällt, also genau so viele Nullstellen hat wie der Grad des Polynoms. Es kann natürlich auch passieren, das anstatt Linearfaktoren dazwischen ein Term ist wie

$$ (x^2 +1) $$

diesen können wir im reellen nicht weiter zerlegen, da die Nullstellen dieses Polynoms komplex sind. Aber wenn am Ende so ein Term übrigen bleibt, dann wissen wir das wir alle reellen Nullstellen des Polynoms gefunden haben.

Grüße Christian