Warum da plötzlich b steht kann ich dir auch nicht sagen, vielleicht ein Druckfehler oder so. 

Wenn du eine Zahl mit 2 multiplizierst kommt immer eine gerade Zahl heraus. Mathematisch heißt das: $2a$ ist gerade für jede ganze Zahl $a$. Wenn du zu einer geraden Zahl 1 dazuaddierst (bzw. subtrahierst) kommt natürlich eine ungerade Zahl heraus. Das bedeutet: $2a + 1$ ist ungerade, weil ja $2a$ gerade ist. Natürlich ist auch sowas wie $4c$ gerade, wegen $4c = 2(2c)$. Merk dir einfach die Darstellung für gerade und ungerade Zahlen. 
Im Beweis wurde es durch Kontraposition bewiesen, also die Implikation $u \Rightarrow k $ wurde beweisen durch $ nicht \ k \Rightarrow nicht \ u$. Man hat also angenommen, das $a$ ungerade ist (deswegen beginnt der Beweis mit $a = 2c + 1$, weil das ja gerade a ist ungerade bedeutet) und daraus wurde dann gefolgert, indem man das $a$ quadrierte, das auch $a^2$ ungerade ist, man hat nämlich wieder so eine Darstellung mit gerade + gerade + 1, was ungerade bedeutet.