Komplex konjugierte Matrix - Determinante - Inverse Matrix

Aufrufe: 1118     Aktiv: 03.02.2022 um 18:35
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Auch wenn es eigentlich nicht allzu kompliziert aussieht, weiß ich irgendwie nicht, wie ich das angehen soll. Freue mich über jede Hilfe :)

EDIT vom 03.02.2022 um 13:58:


hier meine Definition

EDIT vom 03.02.2022 um 15:31:


jetziger Stand

EDIT vom 03.02.2022 um 16:03:


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Student, Punkte: 42

 
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Beim ersten Teil, zeige (oder sehe das direkt), dass die Abbildung \(\delta: \mathbb{C}^{n \times n}\to \mathbb{C}, A\mapsto \overline{\det\Bigl({\overline{A}}\Bigr)}\) multilinear, alternierend und normiert ist, was folgt dann daraus? Im zweiten Teil berechne \(\overline{A}\cdot \overline{A^{-1}}\) und schaue ob die Einheitsmatrix rauskommt, alternativ zeige (oder nutze, falls es bewiesen wurde), dass die Konjugationsabbildung ein Automorphismus ist.
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Ich weiß leider nicht was aus alternierend, multilinear und normiert folgt :(   ─   gfedbca 03.02.2022 um 01:28
Sicher habt ihr gezeigt, dass die Determinante eindeutig durch diese Eigenschaften bestimmt ist, es folgt dann also \(\det =\delta\) und insbesondere \(\det(\overline{A})=\delta(\overline{A})=\overline{\det(A)}\). Oft hilft es mit Abbildungen zu arbeiten, weil man so eine Aufgabe dann in 2 Minuten gelöst hat.   ─   mathejean 03.02.2022 um 08:16
Also müsste ich jetzt noch höchstens zeigen, dass die Abbildung multilinear, alternierend und normiert ist und könnte dann deine Schlussfolgerung daraus ziehen?   ─   gfedbca 03.02.2022 um 14:54
Genau, normiert und alternierend sollte aufjedenfall klar sein, schreib dazu vielleicht einen Satz und multilinear kriegst du dann auch schnell hin. Wenn du das hinkriegst solltest du die Vorzüge dieser Variante sehen   ─   mathejean 03.02.2022 um 16:22
@mikn so wie ich das lese kennt er diese Begriffe, er wusste nur nicht was daraus folgt...   ─   mathejean 03.02.2022 um 18:35

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Wenn der Laplace-Entwicklungssatz bekannt ist, kann man die erste Gleichung per vollst. Induktion zeigen ("Beh.: Für alle $n\times n$-Matrizen gilt:....")
Entscheidend sind dabei die Rechenregeln für das konjugiert komplexe: $\bar x+\bar y=\overline{x+y}$ und $\bar x\cdot\bar y=\overline{x\cdot y}$. Das gilt natürlich auch für mehr als zwei Summanden bzw. Faktoren.
Für die zweite Gleichung ist zu zeigen: $\bar A\cdot \overline{A^{-1}}=I$. Zeige dazu einfach $\overline{A\cdot B}=\bar A\cdot \bar B$ für alle Matrizen $A,B$, indem Du die elementweise Formel für das Matrixprodukt nutzt.
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Der Laplace-Entwicklungssatz ist mir leider nicht bekannt. Gibt es da noch einen alternativen Weg?
Und was ist die elementweise Formel für das Matrixprodukt?   ─   gfedbca 03.02.2022 um 00:23
Tut mir leid, wenn ich vielleicht einfach zu blöd bin, aber ich habe noch immer nicht genau verstanden wie ich jetzt vorgehen soll. Deine Formeln verstehe ich, ein Matrixprodukt von zwei bekannten Matrizen kann ich auch ausrechnen, aber trotzdem verstehe ich nicht ganz worauf du hinauswillst. Und wie soll Det denn definiert sein bei einer n x n Matrix?   ─   gfedbca 03.02.2022 um 03:06
Die Definition ist jetzt oben als Edit   ─   gfedbca 03.02.2022 um 13:59
Ah okay, so langsam verstehe ich es... Wenn ich jetzt also die einzelnen Faktoren voneinander "getrennt habe", also das konjugierte. Ist das dann schon das gleiche wie det (A konjugiert)? Mir ist nämlich nicht ganz bewusst wie ich det (A konjugiert) überhaupt ausdrücke.   ─   gfedbca 03.02.2022 um 14:43
Soweit bin ich schon... Mein Problem ist, dass ich die eine Seite nicht weiter umzuformen weiß und bei der anderen gar nicht genau weiß, wie der allererste Ausdruck aufzuschreiben ist. Oben ist jetzt ein Bild, wie weit ich bin.   ─   gfedbca 03.02.2022 um 15:30
Ich habe meinen neuen Stand hochgeladen. Kann man jetzt schon abschließend argumentieren, wenn man die einzelnen Faktoren gleichsetzt, dass das Ganze gleich ist?   ─   gfedbca 03.02.2022 um 16:05
Was ist denn das Konjugierte davon? Ich habe davon leider noch nichts gelesen oder gehört. Aber eigentlich braucht es das doch auch gar nicht. Immerhin steht doch in beiden Gleichungen dasselbe? Ob man es nun umschreibt oder nicht, in beiden ist der identische Ausdruck mit sgn konjugiert   ─   gfedbca 03.02.2022 um 16:22

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.