Bei der a) kann ich dir schon mal weiterhelfen. Für \(x=0\) ist die Aussage richtig, denn \(f(0)=f(t \cdot 0) = t^{\gamma} f(0) \) impliziert \(f(0)=0\), also \( \langle 0, (\nabla f) (0) \rangle = 0 = \gamma f(0)\). Sei nun \(x \neq 0\). Definiere \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) durch \( g(t)=t^{\gamma}f(x) \). Dann gilt

\( g^{\prime}(t) = \gamma t^{\gamma - 1} f(x) \)

Andererseits gilt nach Voraussetzung auch \( g(t) = f(tx) \). Hieraus folgt

\( \lim_{h \to 0+} \frac{g(t+h)-g(t)}{h} - df(tx)(x) = \lim_{h \to 0+} \frac{f(tx+hx)-f(tx)}{h} - df(tx)(x) = \|x\| \lim_{h \to 0+} \frac{f(tx+hx)-f(tx)-df(tx)(hx)}{\|hx \|} = 0\)

Und somit muss \( df(tx)(x) = g^{\prime}(t)=\gamma t^{\gamma - 1}f(x) \) sein. Setzt man \(t=1\) ein, so folgt die Behauptung

\( \langle x, (\nabla f)(x) \rangle = df(x)(x) = \gamma f(x) \)

Zu b) Es gilt \( \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)- F(x) -((Dg)(x)h \cdot A(x)+g(x) \cdot (DA)(x)h)}{\|h\|} \) \(= \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) \cdot A(x+h)-g(x) \cdot A(x)-((Dg)(x)h \cdot A(x)+g(x) \cdot (DA)(x)h)}{\|h\|} \) \( = \lim_{h \to 0} \frac{g(x) \cdot [A(x+h)-A(x)-(DA)(x)h]+ [g(x+h)-g(x)-(Dg)(x)h] \cdot A(x+h) +(Dg)(x)h \cdot [A(x+h)-A(x)]}{\|h\|} \) \( = \lim_{h \to 0} g(x) \cdot \frac{A(x+h)-A(x)-(DA)(x)h}{\|h\|} + \frac{g(x+h)-g(x)-(Dg)(x)h}{\|h\|} \cdot A(x+h) + Dg(x) \frac{h}{\|h\|}  \cdot [A(x+h)-A(x)] = 0\). Dies zeigt die Behauptung.