Tangenten am Kreis- wo ist der Fehler?

Aufrufe: 346     Aktiv: 02.08.2023 um 23:33

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Hallo, nochmals eine Frage von mir. Ich verstehe bei der Aufgabe unten nicht, wo der Fehler liegt (komme auf Minus unter der Wurzel, obwohl es Lösungen geben muss). Sind meine Ansätze I. oder II. das Problem? Kann mir jemand weiterhelfen? Danke im Voraus
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Aha, ich verstehe, man muss die Kreisgleichung zum Ableiten nach y umschreiben. Heisst das, es ist gar kein Gleichungssystem nötig? Ich rechne es morgen nach, aber es sieht verständlich aus. Vielen Dank!   ─   kurzefrage.8 02.08.2023 um 21:44

Müssen nicht, aber ist ein schneller, sicherer Weg, wenn man die Algebra beherrscht. Siehst ja selbst, sind nur paar Zeilen zu schreiben.   ─   guyfox 02.08.2023 um 23:17

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Ich versuche mal, die richtige Idee Deiner Rechnung zu retten.
In der drittletzten Zeile hast Du die zweite Klammer falsch ausgerechnet. Das nebenbei, es ist weiter oben schon was nicht richtig.
Übrigens, der Richtungsvektor $\binom{1}{-1}$ hat die Steigung $-1$, das sieht man sofort, dazu braucht man keinen zweiten Punkt ausrechnen (1 nach rechts, 1 nach unten).
Kurz vorweg: Du hast in Deinem Schritt I die Steigung $-1$ an der falschen Stelle eingebracht. Richtig lautet die Gleichung $k': \; 2(x-3)+2(y-4)(-1)=0$. Der Faktor $(-1)$ ist die gewünschte Steigung. Ab da kannst Du weiterrechnen wie üblich. Einen einfachen Weg siehe unten.
Ausführliche Erklärung:
Wir suchen Punkte auf dem Kreis mit Steigung $-1$. Wenn der Kreis mit einem Parameter $t$ durchlaufen wird, ist ein Punkt auf dem Kreis $(x(t),y(t))$ und sein Tangentenvektor ist $(x'(t),y'(t))$. Es soll also $y'(t)=-x'(t)$ gelten.
Die Kreisgleichung ist $(x(t)-3)^2+(y(t)-4)^2=9$, abgeleitet also $2(x(t)-3)x'(t)+2(y(t)-4)y'(t)=0$. Setzt man $y'(t)=-x'(t)$ ein und kürzt, erhält man $y(t)-4=x(t)-3$. Ich schreibe nun $y-4=x-3$. Besser nicht vereinfachen, weil es sich so leichter in die Kreisgleichung einsetzen lässt, ergibt nämlich $2(x-3)^2=9$, was sofort $x=3\pm \sqrt{4.5}$ ergibt. Mit dem dazu passenden $y=x+1=4\pm\sqrt{4.5}$ erhält man die beiden Punkte, die noch zu den beiden gesuchten Tangentengleichungen fehlen.
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