.

Ich versuche mal, die richtige Idee Deiner Rechnung zu retten.
In der drittletzten Zeile hast Du die zweite Klammer falsch ausgerechnet. Das nebenbei, es ist weiter oben schon was nicht richtig.
Übrigens, der Richtungsvektor $\binom{1}{-1}$ hat die Steigung $-1$, das sieht man sofort, dazu braucht man keinen zweiten Punkt ausrechnen (1 nach rechts, 1 nach unten).
Kurz vorweg: Du hast in Deinem Schritt I die Steigung $-1$ an der falschen Stelle eingebracht. Richtig lautet die Gleichung $k': \; 2(x-3)+2(y-4)(-1)=0$. Der Faktor $(-1)$ ist die gewünschte Steigung. Ab da kannst Du weiterrechnen wie üblich. Einen einfachen Weg siehe unten.
Ausführliche Erklärung:
Wir suchen Punkte auf dem Kreis mit Steigung $-1$. Wenn der Kreis mit einem Parameter $t$ durchlaufen wird, ist ein Punkt auf dem Kreis $(x(t),y(t))$ und sein Tangentenvektor ist $(x'(t),y'(t))$. Es soll also $y'(t)=-x'(t)$ gelten.
Die Kreisgleichung ist $(x(t)-3)^2+(y(t)-4)^2=9$, abgeleitet also $2(x(t)-3)x'(t)+2(y(t)-4)y'(t)=0$. Setzt man $y'(t)=-x'(t)$ ein und kürzt, erhält man $y(t)-4=x(t)-3$. Ich schreibe nun $y-4=x-3$. Besser nicht vereinfachen, weil es sich so leichter in die Kreisgleichung einsetzen lässt, ergibt nämlich $2(x-3)^2=9$, was sofort $x=3\pm \sqrt{4.5}$ ergibt. Mit dem dazu passenden $y=x+1=4\pm\sqrt{4.5}$ erhält man die beiden Punkte, die noch zu den beiden gesuchten Tangentengleichungen fehlen.