Beweis OLS-Estimator = GLS-Estimator (mit projection matrix im generalized linear model)

Aufrufe: 442     Aktiv: 27.02.2021 um 21:51
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ich muss beweisen, dass der

OLS- estimator:

b=(X^T * X)^-1 * X^T *y

gleich dem GLS-estimator ist:

b*=(X^T * Ω^-1 * X)^-1 * X^T * Ω^-1 * y

mit der Bedingung: X^T * Ω^-1 * (I - P) = 0 und P = X * (X^T * X)^-1 * X^T.
(I = Einheitsmatrix)

Weitere Informationen: y = X * b + e                  mit e I X ~ N(0,σ^2 *Ω)

Vielen Dank vorab.
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Wir betrachten mal das Ende von \(b^*\):
\(X^T\Omega^{-1}y=X^T\Omega^{-1}(I-P+P)y=X^T\Omega^{-1}(I-P)y +X^T\Omega^{-1}Py=X^T\Omega^{-1}Py =
X^T\Omega^{-1}X(X^TX)^{-1}X^Ty\) aufgrund der Zusatzbedingung. Damit gilt dann:
\(b^*=...\) einsetzen und den Rest schaffst Du bestimmt allein. Oder?
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