K-lineare Abbildung zwischen den K-Vektorräumen

Aufrufe: 40     Aktiv: 05.07.2021 um 16:27

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Aufgabenstellung: Sei ϕ eine K-lineare Abbildung zwischen den K-Vektorräumen V und W. Zeigen Sie, dass ϕ genau dann injektiv ist, wenn g : W → V : g ◦ ϕ = idv gilt
 
Ich bin mir bei der Lösung nicht sicher:
 
(I) φ ist injektiv=>(II)  ∃g:W→V:g∘φ= (id)(tiefgestellt: v)
(II) => (I)
Bew.: 1. Sei g:W→V,g(W)= {(v mit φ(v),falls w ∈Bild(φ)
v',falls w∉Bild(φ)) }
Und sei v ∈ V. Dann gilt (I) => ∃! w∈W mit φ(v)= w => g ∘ φ(v) = g(w)  = v = (id)(tiefgestellt: v) (v)
 
Also gilt (I) => (II)

Würde mich über Hilfe und Feedback freuen, danke.

 

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