Ein Zyklus ist ein besonderes Element einer Symmetrischen Gruppe, das eine Teilmenge der Elemente "im Kreis weiterschickt", z.B. ist $$\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&3&1\end{pmatrix}\in S_4$$ ein Zyklus: \(1\mapsto2\mapsto 4\mapsto 1\) und alle anderen Elemente (hier die 3) bleiben unverändert. In Zykelschreibweise bestehen diese aus nur einer Klammer, hier wäre es \((124)\). Die Länge eines Zyklus' ist die Anzahl der Elemente, die in dem Zyklus auftauchen, hier wäre das 3. Ein wichtiges Resultat in Zusammenhang mit symmetrischen Gruppen ist, dass sich jede Permutation als Produkt von solchen Zykeln schreiben lässt. Jeder Zykel lässt sich wiederum als Produkt von \(2\)-Zykeln schreiben, diese nennt man auch Transpositionen.