Lineare Unabhängigkeit von e-Funktionen

Erste Frage Aufrufe: 791     Aktiv: 27.12.2020 um 23:48
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Ich soll prüfen, ob die Funktionen \(e^{2x}\) und \(e^{3x}\) linear unabhängig sind. Bei Wikipedia hatte ich einen Beweis gefunden und versucht, diesen nachzuvollziehen. Ich hab es so verstanden, dass die lineare Unabhängigkeit für alle \(x\) aus dem Definitionsbereich (in diesem Fall \(\mathbb{R}\)) gelten muss.

Nun zu meiner Frage:

Sei \(x = 0\), dann würde aus \(ae^{2x}+be^{3x}=0\), mit \(a,b \neq 0\), doch \(a+b=0\) werden, oder?

Und mit \(a = -b\) wäre \(a+b=0\), auch ohne dass \(a=b=0\).

Warum sind die beiden Funktionen dennoch linear unabhängig?

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Weil, wie Du völlig richtig sagst (naja, meinst), die Gleichung für alle x gelten muss. Deine Wahl von a und b funktioniert ja nur für x=0. Finde also (falls möglich) a und b, so, dass die Gleichung für alle x erfüllt (mit denselben a, b). Natürlich geht das immer mit a=b=0. Wenn das aber die einzige Möglichkeit ist, dann sind die Funktionen linear unabhängig. Probier also noch mind. ein weiteres x aus.

Das wäre der Weg mit mehreren x'en. Du kannst das auch wie bei wikipedia mit der Ableitung machen. Vom Verständnis des Begriffs "lin. unabh." her mach es lieber ohne Ableitungen.

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