Bedingter Erwartungswert berechnen

Aufrufe: 584     Aktiv: 19.02.2022 um 17:56

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Hi zusammen,

ich habe Probleme mit dieser Übungsaufgabe:



Zunächst war ich mir sicher wie ich die Aufgabe lösen kann. Meine Idee bestand darin alle
möglichen auftretenden Ereignisse $A_{1}$ (X+Y = 2), $A_{2}$ (X+Y = 1) und $A_{3}$ (X+Y = 0) zu betrachten. Da Z mit dem Indikator nur 1 ist wenn $A_{3}$ eintritt und ansonsten 0 hätte ich gesagt, dass $\sigma (Z)$ nichts anderes ist als { $ \emptyset, A_{3}, A_{3}^{C}, \Omega $ }. Die einfache Struktur dieser $\sigma$ -Algebra hätte mir dann erlaubt $\mathbb{E}[X \vert Z] = \dfrac{\mathbb{E}[X \cdot 1_{A_{3}}]}{\mathbb{P}(A_{3})} 1_{A_{3}} + \dfrac{\mathbb{E}[X \cdot 1_{A_{3}^{C}}]}{\mathbb{P}(A_{3})} 1_{A_{3}^{C}}$

Ich hoffe ich hatte bisher keinen Denkfehler wenn doch gerne korrigieren. Mein Problem trat auf als ich darüber nachdachte wie $A_{3}$ aussieht. Da es das Ereignis ist wobei $X=0$ und $Y=0$ muss doch { $X=0$ } $\cap$ {$Y=0$} nicht leer sein. Aber dies würde doch bedeuten dass es $\omega_{0} \in \Omega$ gibt wofür sowohl $X(\omega_{0}) = 0$ als auch $Y(\omega_{0}) = 0$. Aber würde das nicht der Unabhängigkeit dieser zweier ZV wiedersprechen? Daraufhin überlegte ich ob beide ZV auf unterschiedlichen Schnittfremden $\Omega_{1}$ und $\Omega_{2}$ definiert sind und Z dann eine ZV von $\Omega_{1} \times  \Omega_{2} \: \: \to \mathbb{R}$ ist. Dies würde aber dann bei der Erwartungswertbildung oben weniger Sinn ergeben für mich.

Ich hoffe ich habe mein Problem verständlich formuliert. Vielen Dank für Hilfe!

Edit: Ich glaube das Problem was ich mit der Unabhängigkeit gesehen habe ist Quatsch und ich kann den ersten Ansatz problemlos weiterverfolgen. Zwar hätten wir dann $\omega$ für die beide ZV 0 sind aber das ist glaube ich doch kein Problem oder?
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Also ich gehe mal davon aus, dass du beim zweiten Summanden $\mathbb{P}(A_3^c)$ meinst; denn dann stimmt es bisher.

Ich verstehe nicht ganz, wo du ein Problem mit der Unabhängigkeit siehst, denn es bedeutet hier doch nur, dass $\mathbb{P}(X=0 \cap Y=0)=\mathbb{P}(X=0)\mathbb{P}(Y=0)$.
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Ich hatte einen Denkfehler hat sich geklärt danke für die Antwort.   ─   matyas 19.02.2022 um 17:56

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