Fundamentalsatz der Algebra ist ein gutes Stichwort, allerdings musst du schon noch ein bisschen mehr dazu sagen. Also wie folgt die Aussage aus dem Fundamentalsatz?

Am besten überlegt man sich erstmal, dass \( \sum_{i=0}^n L_i(x) \cdot x_i^k - x^k \) ein Polynom von Grad \( \le n \) ist. Wenn man jetzt \( n+1 \) Nullstellen von diesem Polynom findet (welche könnten das wohl sein?), dann folgt aus dem Fundamentalsatz, dass es sich um das Nullpolynom handeln muss. Es ist also \( \sum_{i=0}^n L_i(x) \cdot x_i^k - x^k = 0 \) bzw. \( \sum_{i=0}^n L_i(x) \cdot x_i^k = x^k \), wie behauptet.