Beweis einer Poisson-"Gleichheit"

Aufrufe: 143     Aktiv: 30.05.2024 um 17:55
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Eine Zufallsgröße X mit Werten $\mathbb{N}_0$, ist Poisson verteilt $\lambda \gt 0$ mit
 
$\mathbb{P}(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k!} e^{-\lambda}$
$$\iff$$
 
 Für alle beschränkten Funkionen $f$ gilt $f:\mathbb{N}_0\longrightarrow \mathbb{R}$  $\mathbb{E}\left( X f\left( X \right) \right)=\lambda \mathbb{E}\left( f\left( X+1 \right) \right)$

Ich werde mich später nochmal intensiver damit beschäftigen, konnte aber vorerst zu keinem Ergebnis kommen. Für eine kleine Starthilfe wäre ich dankbar :)
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Punkte: 17

 
Als Starthilfe, eine Äquivalenz beweist man, indem man die Implikationen in beide Richtungen beweist. Fange doch einmal mit $“\Longrightarrow“$ an. Wie weit kommst du?   ─   maqu 29.05.2024 um 14:53
Korrektur:
$\Rightarrow $
$\mathbb{E}\left[ X f\left( X \right) \right]=\sum_{j=1}^{\infty} j f\left( j \right) ~e^{-\lambda} \frac{\lambda^{j}}{j!}$
$=e^{-\lambda}\lambda \sum_{j=1}^{\infty} f\left( j \right) \frac{\lambda^{j-1}}
{\left( j-1 \right)!}$
$=\lambda\sum_{j=0}^{\infty} f\left( j+1 \right) e^{-\lambda} \frac{\lambda^{j}}{j!}$
= $\lambda\mathbb{E}\left[ f\left( X+1\right) \right]$. Fertig
   ─   max978 29.05.2024 um 17:52
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Der Nachweis von "$\implies$" ist fast richtig. Mach mal die Indexverschiebung im letzten Schritt richtig, dann steht auch das gewünschte da.
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ich danke! war dann doch ganz leicht die Richtung :) Fehlt noch die Rückrichtung. Daran versuche ich mich demnächst und melde mich   ─   max978 29.05.2024 um 18:06
Erster Implus
$\mathbb{E}\left[ X f\left( X \right) \right]=\lambda\mathbb{E}\left[ f\left( X+1 \right) \right]$
$\iff \sum_{j=0}^{\infty} jf\left( j \right)\mathbb{P}\left( X=j \right)=\lambda\sum_{j=0}^{\infty} jf\left( j+1 \right)\mathbb{P}\left( X=j \right)$
$\iff\sum_{j=0}^{\infty} \left( f\left( j \right)-f\left( j+1 \right)\lambda \right) j ~\mathbb{P}\left( X=j \right)=0$
Indexverschiebung? oder Teleskopsumme? vielleicht oder ist der Ansatz quatsch. Bin erstmal weg, würde mich um Feedback in der Zwischenzeit freuen :) Wenn es der richtige Ansatz ist dann erstmal nur sagen und ich mache später weiter   ─   max978 29.05.2024 um 18:35
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Beachte, $\mathbb{E} [f(X+1)] \neq \displaystyle{\sum_{j=0}^{\infty} jf(X+1)P(X=j)}$!   ─   maqu 30.05.2024 um 02:33
Noch zu "$\implies$": Die Begründung, dass es für alle beschränkten Funktionen gilt, fehlt noch (Konvergenz der Reihe). Für beliebige Funktionen gilt es nämlich nicht.
Zu "$\Leftarrow$": Auch hier: Beachte, wir wissen, dass diese Gleichheit für alle(!) beschränkten Funktionen gilt. Nach Korrektur Deines obigen ersten Versuchs verwende $f_k(x):=\begin{cases} 1 & x=k\\ 0 & sonst\end{cases}$, um eine Rekursionsformel für die $P(X=k)$ zu erhalten und daraus eine explizite Formel. Es fehlt dann noch die Kenntnis von $P(X=0)$. Die erhält man aus der Bedingung $\sum\limits_{i=0}^\infty P(X=k)=1$.   ─   mikn 30.05.2024 um 14:25
Ich danke euch Beiden für die Hilfe! Damit müsste ich es hinbekommen :)   ─   max978 30.05.2024 um 17:55

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