Zu 2) Du hast richtig gezeigt, dass \(g\) für \(x = 2\) nicht stetig ist. Zur vollständigen Lösung solltest du aber noch ergänzen, dass \(g\) für \(x \neq 2\) als Komposition stetiger Funktionen stetig ist.

Zu 3) Deine Argumentation erscheint mir nicht richtig.

Sei \(\vert x \vert \neq 2\). Seien außerdem \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) eine rationale Folge und \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) eine irrationale Folge mit \(\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = x \). Dann gilt \(\lim_{n \to \infty} h(a_n) = \lim_{n \to \infty} 5 = 5 \neq x^2 + 1 = \lim_{n \to \infty} b_n^2+1 = \lim_{n \to \infty} h(b_n)\) und somit ist \(h\) für \( \vert x \vert \neq 2 \) nicht stetig.

Sei nun \(\vert x \vert =2\) und \(\varepsilon > 0\). Da die Funktion \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, y \to y^2+1\) stetig ist, finden wir ein \(\delta > 0\), sodass für alle \(y \in \mathbb{R} \) gilt: \( \vert y - x \vert < \delta \Rightarrow \vert f(y) - 5 \vert = \vert f(y) - f(x) \vert < \varepsilon \). Insbesondere gilt also für \( y \notin \mathbb{Q}\): \( \vert y - x \vert < \delta \Rightarrow \vert h(y) - h(x) \vert = \vert f(y) - 5 \vert < \varepsilon \). Und wegen \( \vert h(y) - h(x) \vert = \vert 5 - 5 \vert = 0 < \varepsilon \) für alle \(y \in \mathbb{Q} \) folgt somit für alle \(y \in \mathbb{R}\): \( \vert y - x \vert < \delta \Rightarrow \vert h(y) - h(x) \vert < \varepsilon \). Also ist \(h\) für \( \vert x \vert = 2\) stetig.