Cauchy- Folge zeigen

Aufrufe: 65     Aktiv: 12.05.2021 um 09:20

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Hi! Ich möchte gerne die oben stehende aufgabe lösen, allerdings weiß ich leider nicht, wie zeigen oder wiederlegen soll, ob es sich bei den Folgen um eine Cauchy- Folge bezüglich der angegebenen Norm handelt. Wie genau kann ich das zeigen? 
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!
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Student, Punkte: 93

 

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a) Angenommen, \((f_n)_n\) wäre Cauchy. Da \((C^0([0,1]),|\!|\cdot|\!|_{\mathrm{sup}})\) vollständig ist, wäre \((f_n)_n\) dann auch konvergent. Aber \((f_n)_n\) konvergiert punktweise gegen $$f(x):=\begin{cases}0&x<0,\\1&x=0\end{cases}$$ was nicht stetig ist, Widerspruch.
Für b) und c) berechne direkt \(|\!|f_n-f_m|\!|\) für \(m>n\).
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