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Ich habe mich wirklich nochmal hingesetzt und habe ein formalen Beweis geschrieben. Ich hatte Recht, wenn man den Mittelwertsatz im Hinterkopf hat, dann ist der Beweis ganz einfach.
Es sei $L:=\sup_{x\in U}\left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert $.
Wir wollen die Lipschitz-Stetigkeit beweisen
\[ \forall x_{1},x_{2}\in U:\quad\left\Vert f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right\Vert \leq L\cdot\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \]
Beweis per Widerspruch: Es seien $x_{1},x_{2}\in U$ so gewählt, dass $\left\Vert f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right\Vert >L\cdot\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert $. Definiere
\begin{align*}
F:\left[0;1\right]\to\mathbb{R}^{m}, & \qquad F\left(t\right):=f\left(x_{1}+t\left(x_{2}-x_{1}\right)\right)\\
H:\left[0;1\right]\to\mathbb{R}^{m}, & \qquad H(t):=F\left(t\right)-F\left(0\right)\\
r:\left[0;1\right]\to\mathbb{R}, & \qquad r\left(t\right):=\frac{\left\langle H\left(t\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }
\end{align*}
Beachte, dass diese Definitionen durch die Konvexität von U wohldefiniert sind.
$r$ ist eine stetig differenzierbare Funktion mit einem Intervall als Definitionsbereich. $r$ genügt somit den Voraussetzungen des Mittelwertsatzes und es folgt die Existenz eines $t'\in\left[0;1\right]$, so dass
\begin{align*}
r'\left(t'\right) & =r\left(1\right)-r\left(0\right)\\
& =\frac{\left\langle H\left(1\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }-\underbrace{\frac{\left\langle H\left(0\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }}_{=0}\\
& =\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert \\
& =\left\Vert F\left(1\right)-F\left(0\right)\right\Vert \\
& =\left\Vert f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right\Vert \\
& >L\cdot\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert
\end{align*}
Definiere
\begin{align*}
\text{Kritische Stelle:}\qquad y & :=x_{1}+t'\left(x_{2}-x_{1}\right)\\
\text{Richtungseinheitsvektor:}\qquad v & :=\frac{x_{2}-x_{1}}{\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert }
\end{align*}
Um den Widerspruch zu vervollständigen, wollen wir nun zeigen, dass das Differenzial $Df\left(x\right)$ an der kritischen Stelle größer ist als $L=\sup_{x\in U}\left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert $. Dazu verwende ich, dass der Gradient immer in die Richtung des größten Anstiegs zeigt. Demzufolge ist jede Richtungsableitung kleiner oder gleich dem Gradienten:
\[ \left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert \geq\left\Vert D_{v}f\left(x\right)\right\Vert \]
Wir können nun beginnen
\begin{align*}
r'\left(t'\right) & =\lim_{h\to0}\frac{r\left(t'+h\right)-r\left(t'\right)}{h}\\
& =\lim_{h\to0}\frac{\left\langle H\left(t'+h\right)-H\left(t'\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert h}\\
& =\lim_{h\to0}\frac{\left\langle F\left(t'+h\right)-F\left(t'\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert h}\\
& =\lim_{h\to0}\frac{\left\langle f\left(x_{1}+t'\left(x_{2}-x_{1}\right)+h\left(x_{2}-x_{1}\right)\right)-f\left(x_{1}+t'\left(x_{2}-x_{1}\right)\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert h}\\
& =\lim_{h\to0}\frac{\left\langle f\left(y+h\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert v\right)-f\left(y\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert h}\\
\text{Substutution }h_{neu}:=h\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \qquad & =\frac{\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }\cdot\lim_{h\to0}\frac{\left\langle f\left(y+hv\right)-f\left(y\right),H\left(1\right)\right\rangle }{h}\\
& =\frac{\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }\cdot\left\langle \lim_{h\to0}\frac{f\left(y+hv\right)-f\left(y\right)}{h},H\left(1\right)\right\rangle \\
& =\frac{\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }\cdot\left\langle D_{v}f\left(y\right),H\left(1\right)\right\rangle \\
\text{Cauchy-Schwarzsche Ungleichung}\qquad & \leq\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \cdot\left\Vert D_{v}f\left(y\right)\right\Vert \\
& \leq\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \cdot\left\Vert Df\left(y\right)\right\Vert
\end{align*}
Wir können nun daraus folgern
\begin{align*}
& & L\cdot\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert & <r'\left(t'\right)\leq\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \cdot\left\Vert Df\left(y\right)\right\Vert \\
& \Rightarrow & L & <\left\Vert Df\left(y\right)\right\Vert \\
& \Rightarrow & \sup_{x\in U}\left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert & <\left\Vert Df\left(y\right)\right\Vert \qquad \text{Widerspruch}
\end{align*} Wenn du Fragen zu einer Stelle hast, dann frag einfach.
PS: Ich würde mich sehr über ein Upvote freuen!
Es sei $L:=\sup_{x\in U}\left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert $.
Wir wollen die Lipschitz-Stetigkeit beweisen
\[ \forall x_{1},x_{2}\in U:\quad\left\Vert f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right\Vert \leq L\cdot\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \]
Beweis per Widerspruch: Es seien $x_{1},x_{2}\in U$ so gewählt, dass $\left\Vert f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right\Vert >L\cdot\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert $. Definiere
\begin{align*}
F:\left[0;1\right]\to\mathbb{R}^{m}, & \qquad F\left(t\right):=f\left(x_{1}+t\left(x_{2}-x_{1}\right)\right)\\
H:\left[0;1\right]\to\mathbb{R}^{m}, & \qquad H(t):=F\left(t\right)-F\left(0\right)\\
r:\left[0;1\right]\to\mathbb{R}, & \qquad r\left(t\right):=\frac{\left\langle H\left(t\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }
\end{align*}
Beachte, dass diese Definitionen durch die Konvexität von U wohldefiniert sind.
$r$ ist eine stetig differenzierbare Funktion mit einem Intervall als Definitionsbereich. $r$ genügt somit den Voraussetzungen des Mittelwertsatzes und es folgt die Existenz eines $t'\in\left[0;1\right]$, so dass
\begin{align*}
r'\left(t'\right) & =r\left(1\right)-r\left(0\right)\\
& =\frac{\left\langle H\left(1\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }-\underbrace{\frac{\left\langle H\left(0\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }}_{=0}\\
& =\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert \\
& =\left\Vert F\left(1\right)-F\left(0\right)\right\Vert \\
& =\left\Vert f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right\Vert \\
& >L\cdot\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert
\end{align*}
Definiere
\begin{align*}
\text{Kritische Stelle:}\qquad y & :=x_{1}+t'\left(x_{2}-x_{1}\right)\\
\text{Richtungseinheitsvektor:}\qquad v & :=\frac{x_{2}-x_{1}}{\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert }
\end{align*}
Um den Widerspruch zu vervollständigen, wollen wir nun zeigen, dass das Differenzial $Df\left(x\right)$ an der kritischen Stelle größer ist als $L=\sup_{x\in U}\left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert $. Dazu verwende ich, dass der Gradient immer in die Richtung des größten Anstiegs zeigt. Demzufolge ist jede Richtungsableitung kleiner oder gleich dem Gradienten:
\[ \left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert \geq\left\Vert D_{v}f\left(x\right)\right\Vert \]
Wir können nun beginnen
\begin{align*}
r'\left(t'\right) & =\lim_{h\to0}\frac{r\left(t'+h\right)-r\left(t'\right)}{h}\\
& =\lim_{h\to0}\frac{\left\langle H\left(t'+h\right)-H\left(t'\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert h}\\
& =\lim_{h\to0}\frac{\left\langle F\left(t'+h\right)-F\left(t'\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert h}\\
& =\lim_{h\to0}\frac{\left\langle f\left(x_{1}+t'\left(x_{2}-x_{1}\right)+h\left(x_{2}-x_{1}\right)\right)-f\left(x_{1}+t'\left(x_{2}-x_{1}\right)\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert h}\\
& =\lim_{h\to0}\frac{\left\langle f\left(y+h\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert v\right)-f\left(y\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert h}\\
\text{Substutution }h_{neu}:=h\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \qquad & =\frac{\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }\cdot\lim_{h\to0}\frac{\left\langle f\left(y+hv\right)-f\left(y\right),H\left(1\right)\right\rangle }{h}\\
& =\frac{\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }\cdot\left\langle \lim_{h\to0}\frac{f\left(y+hv\right)-f\left(y\right)}{h},H\left(1\right)\right\rangle \\
& =\frac{\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }\cdot\left\langle D_{v}f\left(y\right),H\left(1\right)\right\rangle \\
\text{Cauchy-Schwarzsche Ungleichung}\qquad & \leq\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \cdot\left\Vert D_{v}f\left(y\right)\right\Vert \\
& \leq\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \cdot\left\Vert Df\left(y\right)\right\Vert
\end{align*}
Wir können nun daraus folgern
\begin{align*}
& & L\cdot\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert & <r'\left(t'\right)\leq\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \cdot\left\Vert Df\left(y\right)\right\Vert \\
& \Rightarrow & L & <\left\Vert Df\left(y\right)\right\Vert \\
& \Rightarrow & \sup_{x\in U}\left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert & <\left\Vert Df\left(y\right)\right\Vert \qquad \text{Widerspruch}
\end{align*} Wenn du Fragen zu einer Stelle hast, dann frag einfach.
PS: Ich würde mich sehr über ein Upvote freuen!
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cunni
Punkte: 705
Punkte: 705
Vielen Dank für die Lösung!!!
Ich habe tatsächlich mehrere Fragen.
1. Wie kommt man von der Aufgabe auf das Aufstellen der verschiedenen Gleichungen?
2. Wie kommt man auf die kritische Stelle und wieso dies nochmal mit dieser durchgeführt?
3. wendet man bei r´(t´) die h Methode an?
4. Wieso wurde substituiert? Muss man nicht am Ende wieder rücksubstituieren?
5. da supDf(x)kleinerDf(y) ist, gilt nun dass die Funktion nicht Lipschitz stetig ist? Da wir ja einen Wiederspruch haben.... ─ viola333 28.07.2021 um 09:30
Ich habe tatsächlich mehrere Fragen.
1. Wie kommt man von der Aufgabe auf das Aufstellen der verschiedenen Gleichungen?
2. Wie kommt man auf die kritische Stelle und wieso dies nochmal mit dieser durchgeführt?
3. wendet man bei r´(t´) die h Methode an?
4. Wieso wurde substituiert? Muss man nicht am Ende wieder rücksubstituieren?
5. da supDf(x)kleinerDf(y) ist, gilt nun dass die Funktion nicht Lipschitz stetig ist? Da wir ja einen Wiederspruch haben.... ─ viola333 28.07.2021 um 09:30
Die Lipschitzkonstante sollte dabei \( L := \sup_{x\in U} \Vert Df(x) \Vert \) lauten.
Die Konvexität brauchst du um die Funktion \(F:[0;1] \to \mathbb{R}^m,\quad F(t) := f(x_1+t(x_2-x_1) ) \) definieren zu können. ─ cunni 27.07.2021 um 21:47