Gleichmäßige Stetigkeit in R^n

Aufrufe: 126     Aktiv: 28.07.2021 um 15:10

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Hallo, 
Bei der folgenden Aufgabe habe ich keine Idee, wie ich vorzugehen habe:

Letzendlich folgt aus der Differenzierbarkeit einer Funktion auch die Stetigkeit dieser.
Die Definition zur gleichmäßigen Stetigkeit lautet: Es seien (X, dX),(Y, dY ) metrische Räume und f : X → Y stetig. f heißt gleichmäßig stetig, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass d(x1, x2) < δ impliziert d(f(x1), f(x2)) < ε.

Laut Aufgabe haben wir ebenfalls zwei verschiedene Räume, R^m und R^n gegeben. Somit könnte dieser Satz theoretisch angewendet werden. Was macht nun unsere Zusatzinformation Konvexität von R^n mit der Stetigkeit und wie wende ich den Satz korrekt an, da ich keine explizite Funktion, sondern die Eigenschaft derer gegeben habe?
Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen.
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Punkte: 35

 

Ich glaube man kann die Lipschitz-Stetigkeit ganz einfach beweisen, wenn man sich an den Mittelwertsatz erinnert. Danach folgt die gleichmäßige Stetigkeit trivialerweise, aus der Lipschitz-Stetigkeit.
Die Lipschitzkonstante sollte dabei \( L := \sup_{x\in U} \Vert Df(x) \Vert \) lauten.
Die Konvexität brauchst du um die Funktion \(F:[0;1] \to \mathbb{R}^m,\quad F(t) := f(x_1+t(x_2-x_1) ) \) definieren zu können.
  ─   cunni 27.07.2021 um 21:47
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Ich habe mich wirklich nochmal hingesetzt und habe ein formalen Beweis geschrieben. Ich hatte Recht, wenn man den Mittelwertsatz im Hinterkopf hat, dann ist der Beweis ganz einfach.
Es sei $L:=\sup_{x\in U}\left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert $.
Wir wollen die Lipschitz-Stetigkeit beweisen
\[ \forall x_{1},x_{2}\in U:\quad\left\Vert f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right\Vert \leq L\cdot\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert  \]
Beweis per Widerspruch: Es seien $x_{1},x_{2}\in U$ so gewählt, dass $\left\Vert f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right\Vert >L\cdot\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert $. Definiere
\begin{align*}
F:\left[0;1\right]\to\mathbb{R}^{m}, & \qquad F\left(t\right):=f\left(x_{1}+t\left(x_{2}-x_{1}\right)\right)\\
H:\left[0;1\right]\to\mathbb{R}^{m}, & \qquad H(t):=F\left(t\right)-F\left(0\right)\\
r:\left[0;1\right]\to\mathbb{R}, & \qquad r\left(t\right):=\frac{\left\langle H\left(t\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }
\end{align*}
Beachte, dass diese Definitionen durch die Konvexität von U wohldefiniert sind.
$r$ ist eine stetig differenzierbare Funktion mit einem Intervall als Definitionsbereich. $r$ genügt somit den Voraussetzungen des Mittelwertsatzes und es folgt die Existenz eines $t'\in\left[0;1\right]$, so dass
\begin{align*}
r'\left(t'\right) & =r\left(1\right)-r\left(0\right)\\
 & =\frac{\left\langle H\left(1\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }-\underbrace{\frac{\left\langle H\left(0\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }}_{=0}\\
 & =\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert \\
 & =\left\Vert F\left(1\right)-F\left(0\right)\right\Vert \\
 & =\left\Vert f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right\Vert \\
 & >L\cdot\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert
\end{align*}
Definiere
\begin{align*}
\text{Kritische Stelle:}\qquad y & :=x_{1}+t'\left(x_{2}-x_{1}\right)\\
\text{Richtungseinheitsvektor:}\qquad v & :=\frac{x_{2}-x_{1}}{\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert }
\end{align*}
Um den Widerspruch zu vervollständigen, wollen wir nun zeigen, dass das Differenzial $Df\left(x\right)$ an der kritischen Stelle größer ist als $L=\sup_{x\in U}\left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert $. Dazu verwende ich, dass der Gradient immer in die Richtung des größten Anstiegs zeigt. Demzufolge ist jede Richtungsableitung kleiner oder gleich dem Gradienten:
\[ \left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert \geq\left\Vert D_{v}f\left(x\right)\right\Vert  \]
Wir können nun beginnen
\begin{align*}
r'\left(t'\right) & =\lim_{h\to0}\frac{r\left(t'+h\right)-r\left(t'\right)}{h}\\
 & =\lim_{h\to0}\frac{\left\langle H\left(t'+h\right)-H\left(t'\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert h}\\
 & =\lim_{h\to0}\frac{\left\langle F\left(t'+h\right)-F\left(t'\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert h}\\
 & =\lim_{h\to0}\frac{\left\langle f\left(x_{1}+t'\left(x_{2}-x_{1}\right)+h\left(x_{2}-x_{1}\right)\right)-f\left(x_{1}+t'\left(x_{2}-x_{1}\right)\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert h}\\
 & =\lim_{h\to0}\frac{\left\langle f\left(y+h\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert v\right)-f\left(y\right),H\left(1\right)\right\rangle }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert h}\\
\text{Substutution }h_{neu}:=h\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \qquad & =\frac{\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }\cdot\lim_{h\to0}\frac{\left\langle f\left(y+hv\right)-f\left(y\right),H\left(1\right)\right\rangle }{h}\\
 & =\frac{\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }\cdot\left\langle \lim_{h\to0}\frac{f\left(y+hv\right)-f\left(y\right)}{h},H\left(1\right)\right\rangle \\
 & =\frac{\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert }{\left\Vert H\left(1\right)\right\Vert }\cdot\left\langle D_{v}f\left(y\right),H\left(1\right)\right\rangle \\
\text{Cauchy-Schwarzsche Ungleichung}\qquad & \leq\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \cdot\left\Vert D_{v}f\left(y\right)\right\Vert \\
 & \leq\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \cdot\left\Vert Df\left(y\right)\right\Vert
\end{align*}
Wir können nun daraus folgern
\begin{align*}
 &  & L\cdot\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert  & <r'\left(t'\right)\leq\left\Vert x_{2}-x_{1}\right\Vert \cdot\left\Vert Df\left(y\right)\right\Vert \\
 & \Rightarrow & L & <\left\Vert Df\left(y\right)\right\Vert \\
 & \Rightarrow & \sup_{x\in U}\left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert  & <\left\Vert Df\left(y\right)\right\Vert \qquad \text{Widerspruch}
\end{align*} Wenn du Fragen zu einer Stelle hast, dann frag einfach.

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Vielen Dank für die Lösung!!!
Ich habe tatsächlich mehrere Fragen.
1. Wie kommt man von der Aufgabe auf das Aufstellen der verschiedenen Gleichungen?
2. Wie kommt man auf die kritische Stelle und wieso dies nochmal mit dieser durchgeführt?
3. wendet man bei r´(t´) die h Methode an?
4. Wieso wurde substituiert? Muss man nicht am Ende wieder rücksubstituieren?
5. da supDf(x)kleinerDf(y) ist, gilt nun dass die Funktion nicht Lipschitz stetig ist? Da wir ja einen Wiederspruch haben....
  ─   viola333 28.07.2021 um 09:30

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Bevor ich deine Fragen beantworte vielleicht nochmal allgemein zur Beweisidee. Wir wissen, dass die erste Ableitung beschränkt ist, da $\sup_{x\in U} \Vert Df(x) \Vert<\infty$. Damit kann man von einem Punkt auf dem Graphen aus gesehen nicht mehr als um eben diese Steigung bergauf- oder bergab gehen. Egal in welche Richtung.
Stell dir eine einfache reelle Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ vor. Wenn du weißt, dass die Ableitung beschränkt ist durch $L=\sup_{x\in \mathbb{R}} |f'(x)|$ und du hast einen Punkt gegeben $y_1=f(x_1)$. In welchen Intervall kann dann ein zweiter Punkt $f(x_2)$ liegen? Natürlich nur in $[f(x_1)-|x_2-x_1|\cdot L,f(x_1)+|x_2-x_1|\cdot L]$. Schau dir dazu vielleicht mal das animierte Schaubild zur Lipschitz-Stetigkeit auf https://de.wikipedia.org/wiki/Lipschitzstetigkeit an. Die Beschränktheit des Differenzials ist Äquivalent zur Lipschitz-Stetigkeit.
Was mein Beweis macht, ist diese Eigenschaft in den mehrdimensionalen Raum zu bringen, indem ich sie auf den eindimensionalen Fall zurückführe.

zu 1.)
Ich weiß nicht genau was du meinst. Aber ich erkläre einfach mal, wie ich auf die Definitionen von $F,H,r$ gekommen bin.
  • $F$ ist wie $f$, aber es hat einen eindimensionalen Definitionsbereich. Wenn wir per Annahme bereits $x_1$ und $x_2$ so konstruiert haben, dass $f(x_1)$ und $f(x_2)$ zu weit auseinanderlägen (nach Annahme), dann genügen uns die Punkte dazwischen.
  • $H$ habe ich nur eingeführt, weil die Umformungen im Limes sehr schwer sind, wenn man $r(t)=\frac{1}{\Vert F(1)-F(0)\Vert}< F(t)-F(0), F(1) - F(0) >$ als Ausgangspunkt hat. Ich habe das zuerst nicht hinbekommen. Aber es gilt ja $DH(t) = D(F(t)-F(0)) = DF(t) $. Das erleichtert die algebraische umformung ein bisschen.
  • Auf $H$ konnte ich den Mittelwertsatz immernoch nicht anwenden, weil der Wertebereich ein Vektorraum ist. Also habe ich $h$ definiert. Ich hatte zuerst $h(t)=\Vert H(t) \Vert$ aber dann ist mir aufgefallen, dass ich überhaupt gar nicht weiß, ob dieses $h$ noch überall stetig differenzierbar ist. Das gute alte Problem mit der Betragsfunktion. Stattdessen Messe ich mit dem Skalarprodukt, "wie weit" wir uns schon von dem Startvektor entfernt haben. Und das Skalarprodukt ist stetig differenzierbar.
Ich finde es ziemlich schwierig diese geometrischen Ideen in reiner Textform zu erklären.
Zu 2.)
Wie ich schon in meiner Vorbemerkung geschrieben habe, wollen wir den Widerspruch erzeugen zwischen der Annahme, dass $f(x_1)$ und $f(x_2)$ extrem weit voneinander entfernt liegen sollen und der Beschränktheit der ersten Ableitung $\forall x\in U:\Vert Df(x)\Vert \leq L <\infty$. Der Mittelwertsatz liefert uns die Existenz eines Punktes, in dem die Ableitung von $r'(t')$ extrem riesig ist. So riesig, dass wir $\Vert Df(x)\Vert \leq L$ nicht mehr einhalten können, denn bei $t'$ überschreiten wir die Maximalsteigung.
Was wir also getan haben bis zur Definition der kritischen Stelle $y$ war, $f$ soweit zu vereinfachen, dass wir den Mittelwertsatz anwenden und danach zu zeigen, dass wenn $r'(t')$ riesig ist, dann ist es auch $Df(y)$ zu riesig für die Beschränktheit.

zu 3.)
Keine Ahnung. Die h-Methode (eben gegoogelt) scheint etwas sehr simples zu sein? Der Mittelwertsatz hat jedenfalls etwas mit der Steigung zu tun. Wenn das Differenzial beschränkt ist, dann sind die Tangentensteigungen auch beschränkt. Wenn alle Tangentensteigungen beschränkt sind, dann sind auch die Sekantensteigungen beschränkt. Wenn alle Sekantensteigungen beschränkt sind, dann ist auch die Sekantensteigung zwischen den Punkten $x_1,x_2$ beschränkt. Diese Sekantensteigung lautet $\frac{\Vert f(x_2)-f(x_1)\Vert}{\Vert x_2-x_1\Vert}$. Wie stark muss die Sekantensteigung beschränkt sein? Naja, die Sekantensteigung entspricht höchstens der höchsten Tangentensteigung $L=\sup_x\Vert Df(x) \Vert$
Mit dieser geometrischen Idee kann man vielleicht eine h-Methode darin sehen. Ich würde aber verbal lieber beim Mittelwertsatz bleiben.

zu 4.)
Ich substrituiere doch danach gar nicht zurück. Man kann an dieser Umformung sehr schön sehen, wie ich von der vereinfachten Form $r:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ wieder zurück zu $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ laufe. Von $h$ wissen wir, dass die Ableitung sehr groß sein kann, von $f$ wollen wir es aber beweisen. Also stelle ich $r'(t')$ in relation zu $Df(y)$. Dabei gehe ich quasi die gesamte Definitionskette $f\to F \to H\to r$ (siehe Frage 1) wieder rückwärtz durch.

zu 5.)
Die nicht Lipschitz-Stetigkeit ist die Annahme. Im gesamten Beweis nehme ich an $f$ sei nicht Lipschitz-Stetig. Es ist ein Beweis per Widerspruch.
Die Aussage $\sup_{x\in U} \Vert Df(x)\Vert < \Vert Df(y)\Vert$ ergibt einfach generell keinen Sinn. Wie wollen wir denn einen Punkt $y\in U$ gefunden haben, bei dem $\Vert Df(y) \Vert$ noch größer ist, als das Supremum? Das Supremum ist doch als obere Schranke definiert! Überfliege vielleicht noch einmal schnell, was das Supremum ist bei Wikipedia oder so.
Generell war die Idee: Wir haben eine Beschränktheit des Differenzials. Wir wählen als Lipschitzkonstante diese obere Schranke. Dann behaupten wir $f(x_1)$ und $f(x_2)$ lägen zu weit auseinander für die Lipschitz-Stetigkeit. Dann gibt es aber eine Stelle $y$ mit einer noch höheren Steigung als die Höchste.

Liebe Grüße
cunni
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Okay vielen vielen Dank!
Da wir nicht Lipschitz annehmen, das ein Wiederspruch ist, ist es Lipschitz.
  ─   viola333 28.07.2021 um 15:10

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