Linearität der Integration

Aufrufe: 592     Aktiv: 25.06.2020 um 01:47
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Es ist eine Verständnisfrage. Es ist aus einem Foliensatz und dort steht:

\( F(x)=\int f(x) dx \Rightarrow \frac{1}{k} F(kx)=\int f(kx) dx\)

Warum genau ist das der Fall? Wenn ich z.B. sage: \( f(x)=2x^2 \) und \( f(kx)=2kx^2 \), dann ist \(\int f(kx) dx \) doch wohl \(2k\frac{x^3}{3}+C\), oder? Wo genau kommt da jetzt das \(1/k\) vor der Stammfunktion her?

Oder geht es darum, dass mir \(\int f(kx) dx \) die Stammfunktion \(F(x)\) liefert? Dass ich also, wenn ich in diese \(kx\) einsetze und dann ableite, den Vorfaktor brauche, um wieder das Resultat zu erhalten, von dem aus ich integriert habe (nämlich \(f(kx)\))?

Danke!

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1 Antwort
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Ich denke es geht darum, dass \(\frac1k\cdot F(kx)\) die Stammfunktion der Funktion \(f(kx)\) ist. Also genau genommen die Stammfunktion einer verketteten Funktion. Der Beweis: Leite \(\frac1k\cdot F(kx)\) ab - nach der Kettenregel der Ableitung kommt \(f(kx)\) raus.

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Lehrer/Professor, Punkte: 1.29K

 
Es steht seltsamerweise nichts von k als Funktion, daher dachte ich an eine Konstante. Aber das macht Sinn. Danke dir!   ─   mrclndr 25.06.2020 um 00:35
k ist ja auch eine Konstante und keine Funktion, ansonsten wäre die Aussage nämlich falsch.   ─   42 25.06.2020 um 01:42
Ja, stimmt. Schlampig geantwortet. Danke für den Hinweis. Ich hab's mir jetzt nochmal gründlicher angeschaut und in der Zeit, seit ich die Frage gestellt habe, auch fleißig Kettenregel geübt; jetzt geht es mir in den Kopf und es kommt auch das Richtige dabei raus, nämlich k/k*F'(kx)=1*f(kx).   ─   mrclndr 25.06.2020 um 01:47

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