Vollständige Induktion

Aufrufe: 59     Aktiv: 08.11.2021 um 18:47

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Hallo, ich weiss nicht was ich genau hier machen müsste, bitte um Hilfe. Danke im Vorraus :) 

Vollständige Induktion 1 (5 Punkte)
Es sei n ∈ N eine natürliche Zahl und X eine n-elementige Menge.

(a) Bestimmen Sie (ohne Beweis), wie viele Elemente die Potenzmenge P(X) enthält.

(b) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Potenzmenge einer n-elementigen Menge wirklich so viele Elemente enthält, wie Sie in Teil (a) behauptet haben.
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1 Antwort
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Hallo!

Da du diesbezüglich nicht nachfragst, vermute ich, dass dir die Antwort auf Teil a) klar ist, nämlich 2^n. Um das mit Hilfe der vollständigen Induktion zu beweisen, musst du in einem ersten Schritt nachweisen, dass die Aussage für n = 1 stimmt. Hierzu wiederum musst du wissen, dass die Leere Menge { } immer ein Element der Potenzmenge ist. Nach diesem ersten Schritt musst du zeigen - unter der Voraussetzung, dass die Potenzmenge für eine n-elementige Menge 2^n Elemente enthält - dass sie für eine (n+1)-elementige Menge genau 2^(n+1) enthält. Dazu musst du dir klar machen, wie viele Elemente in der Potenzmenge dadurch dazukommen, dass du jetzt ein Element mehr in der Menge X hast. Wenn du die Anzahl der Elemente, die dazukommen - nennen wir deren Anzahl mal r - und die Anzahl der Elemente, die die Potenzmenge der n-elementigen Menge X hat (und dies sind nach Voraussetzung 2^n) addierst, dann muss Folgendes gilt: 2^n + r = 2^(n+1). Das ist die Beweisidee.

Lieber Gruß
Ruben
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Lehrer/Professor, Punkte: 900

 

Vielen Dank!!!   ─   userc9fab5 08.11.2021 um 18:34

Gerne :-)   ─   mathematinski 08.11.2021 um 18:47

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