Ah, ok.
Grundlegendes Vorgehen ist richtig und scheinst Du verstanden zu haben. Nachgerechnet hab ich Deine Zeilenumformungen bis zur Zeilenstufenform, soweit alles ok.
Dein Endergebnis kann aber nicht stimmen, weil $kern(f_L)\subset R^5$ ist, und bei Dir $\subset R^4$.
Vorgehen nach der 4.Zeile:
Spar Dir die Spaltenumformungen.
Lies die Dimensionen aus der Zeilenstufenform ab: dim(Zeilenraum)=2=dim(Spaltenraum)=dim(bild($f_L$)), also (Dimensionssatz) dim(kern($f_L$))=3.
D.h. für den Kern haben wir drei Freiheitsgrade. Suche Dir drei geeignete Variablen aus (z.B. aus 3. Zeile: $x_4, x_5$ (legt $x_3$ fest), dazu noch eine aus der ersten Zeile, schreibe um und lies die Basisvektoren ab (wie gehabt, nur diesmal vollständig).