BWL LGS lösen Lagrange Methode Lambda Nutzenfunktion

Erste Frage Aufrufe: 120     Aktiv: 12.03.2022 um 22:48

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Wie komme ich auf die richtige Lösung x=18 und y=12?
Ich habe eine Aufgabe mit 3 Gleichungen, in Gleichung 1) und 2) kommt Lambda λ vor :
1) 2 *λ= -9/x -> λ=-9/2*x
2) λ=-3/y
3) 2*x+y-48=0

Ich glaube, man müsste hier Gleichung 1) und 2) gleichsetzen und nach y auflösen, dann in 3) einsetzen. Aber ich habe stets falsche Werte raus...

Hier die Original Aufgabenstellung: 
Ein Konsument konsumiert nur zwei Güter, und zwar x Einheiten des ersten Gutes und
y Einheiten des zweiten Gutes. Die Nutzenfunktion des Konsumenten ist gegeben durch:
u(x, y) = 9 ∙ ln(x) + 3 ∙ ln(y) ; x,y > 0
Die Kosten für das erste Gut betragen zwei Geldeinheiten je Mengeneinheit. Das zweite Gut
kostet eine Geldeinheit je Mengeneinheit. Dem Konsumenten steht ein Budget in Höhe von
48 Geldeinheiten zur Verfügung.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode die globale Maximalstelle der Nutzen
funktion u(x, y) unter der Berücksichtigung des Budgets. 


Laut emathhelp.net lautet die richtige Lösung für x=18 und y=12
hier der Auszug:

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1 Antwort
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aus 1) und 2) eliminierst du \(\lambda\) und erhältst Gleichung 2a: \({9 \over x} = {6 \over y}\)
3) löst du nach y auf und setzt das Ergebnis in 2a) für y ein. daraus folgt eine Gleichung nur mit x.
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Danke dir, für den Denkanstoß. Ich habe eine Lösungsvariante gefunden, wie man auf die richtige Lösung kommt, indem man 1) und 2) gleichsetzt. Also -9/(2*x) = -3/y habe ich mal y auf beiden Seiten gerechnet. Dann (-9*y)/(2*x) = -3 mal genommen mit 2*x auf beiden Seiten.
Schließlich habe ich -9y=-6x nach y=(2/3)*x auflöst und dann y in 3) einsetzt um x=18 und y=12 zu ermitteln. Vermutlich gibt es mehrere Lösungswege.
Kann jemand das bestätigen was ich hier gerechnet habe?
  ─   bwlisttoll 12.03.2022 um 15:55

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Ja, das ist richtig. Es gibt gerade bei solchen Gleichungen viele mögliche Rechenwege. Übe die Umformungen - Dein Vorgehen war ja von der Idee richtig, nur ist bei der Durchführung was schief gegangen. Finde auch bei diesem Beispiel andere Rechenwege, schau selbst, welcher für Dich am einfachsten ist. Üben heißt das Zauberwort.   ─   mikn 12.03.2022 um 16:29

Super, vielen Dank :)   ─   bwlisttoll 12.03.2022 um 22:48

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