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Zur Frage 1: Diese Frage bezieht sich auf Aufgabe b).
Hier ist
\(x^1 = \left(\begin{array}{c} 1\\2\\3\\4 \end{array}\right),\;\;
x^2 = \left(\begin{array}{c} 1\\1\\-1\\-1 \end{array}\right),\;\;
x^3 = \left(\begin{array}{c} -2\\1\\2\\2 \end{array}\right).
\)
Um zu prüfen, ob diese Vektoren das LGS lösen, muss man ja deren Komponenten als \(x_1,x_2,x_3,x_4\) in das LGS einsetzen.
Prüfung von \(x^1\):
Dann muss man \(x_1=1,\; x_2=2,\; x_3=3,\;x_4=4\) in das LGS einsetzen.
Das ergibt:
\( \begin{array}{ccccccccc}
3 \cdot 1 &-& 2 &+& 2 \cdot 3 &+& 4 &=& -1\\
2 \cdot 1 &-& 2 \cdot 2 &+& 3 \cdot 3 &-& 4 &=& -2\\
1 &-& 3 \cdot 2 &+& 4 \cdot 3 &-& 3 \cdot 4 &=& -3\\
4 \cdot 1 & & &+& 3 &+& 3 \cdot 4 &=& 0
\end{array}\)
Die erste Gleichung stimmt schon nicht \(\Rightarrow\) \(x^1\) ist keine Lösung.
Prüfung von \(x^2\):
Dann muss man \(x_1=1,\; x_2=1,\; x_3=-1,\;x_4=-1\) in das LGS einsetzen.
Das ergibt:
\( \begin{array}{ccccccccc}
3 \cdot 1 &-& 1 &+& 2 \cdot (-1) &+& (-1) &=& -1\\
2 \cdot 1 &-& 2 \cdot 1 &+& 3 \cdot (-1) &-& (-1) &=& -2\\
1 &-& 3 \cdot 1 &+& 4 \cdot (-1) &-& 3 \cdot (-1) &=& -3\\
4 \cdot 1 & & &+& -1 &+& 3 \cdot (-1) &=& 0
\end{array}\)
Alle Gleichungen stimmen \(\Rightarrow\) \(x^2\) ist Lösung.
Analog rechnet man nach, dass \(x^3\) Lösung ist.
Zur Frage 2: Die spezielle inhomogene Lösung \(x^1=\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)\) ist aus Aufgabe c).
Dieses \(x^1\) ist einfach eine weitere Lösung des LGS., die aus den letzten beiden Zeilen der Rechnung zu Aufgabe c) abgelesen wird.
Dieses \(x^1\) ist nicht das \(x^1\) aus Aufgabe a).
Wie man sich leicht überzeugt, ist dieses \(x^1\) Lösung des LGS.
Zu Frage 3: Wie gesagt, \(x^4\) ist nicht \(x_4\). \(x^4\) kommt in der gesamten Aufgabe nicht vor.
Zu Frage 4: Wie in der Antwort zu Frage 1 demonstriert, ist ein Vektor x eine Lösung, wenn alle Gleichungen stimmen, wenn man die Komponenten von x als \(x_1,x_2,x_3,x_4\) in das LGS eingesetzt.
Hier ist
\(x^1 = \left(\begin{array}{c} 1\\2\\3\\4 \end{array}\right),\;\;
x^2 = \left(\begin{array}{c} 1\\1\\-1\\-1 \end{array}\right),\;\;
x^3 = \left(\begin{array}{c} -2\\1\\2\\2 \end{array}\right).
\)
Um zu prüfen, ob diese Vektoren das LGS lösen, muss man ja deren Komponenten als \(x_1,x_2,x_3,x_4\) in das LGS einsetzen.
Prüfung von \(x^1\):
Dann muss man \(x_1=1,\; x_2=2,\; x_3=3,\;x_4=4\) in das LGS einsetzen.
Das ergibt:
\( \begin{array}{ccccccccc}
3 \cdot 1 &-& 2 &+& 2 \cdot 3 &+& 4 &=& -1\\
2 \cdot 1 &-& 2 \cdot 2 &+& 3 \cdot 3 &-& 4 &=& -2\\
1 &-& 3 \cdot 2 &+& 4 \cdot 3 &-& 3 \cdot 4 &=& -3\\
4 \cdot 1 & & &+& 3 &+& 3 \cdot 4 &=& 0
\end{array}\)
Die erste Gleichung stimmt schon nicht \(\Rightarrow\) \(x^1\) ist keine Lösung.
Prüfung von \(x^2\):
Dann muss man \(x_1=1,\; x_2=1,\; x_3=-1,\;x_4=-1\) in das LGS einsetzen.
Das ergibt:
\( \begin{array}{ccccccccc}
3 \cdot 1 &-& 1 &+& 2 \cdot (-1) &+& (-1) &=& -1\\
2 \cdot 1 &-& 2 \cdot 1 &+& 3 \cdot (-1) &-& (-1) &=& -2\\
1 &-& 3 \cdot 1 &+& 4 \cdot (-1) &-& 3 \cdot (-1) &=& -3\\
4 \cdot 1 & & &+& -1 &+& 3 \cdot (-1) &=& 0
\end{array}\)
Alle Gleichungen stimmen \(\Rightarrow\) \(x^2\) ist Lösung.
Analog rechnet man nach, dass \(x^3\) Lösung ist.
Zur Frage 2: Die spezielle inhomogene Lösung \(x^1=\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)\) ist aus Aufgabe c).
Dieses \(x^1\) ist einfach eine weitere Lösung des LGS., die aus den letzten beiden Zeilen der Rechnung zu Aufgabe c) abgelesen wird.
Dieses \(x^1\) ist nicht das \(x^1\) aus Aufgabe a).
Wie man sich leicht überzeugt, ist dieses \(x^1\) Lösung des LGS.
Zu Frage 3: Wie gesagt, \(x^4\) ist nicht \(x_4\). \(x^4\) kommt in der gesamten Aufgabe nicht vor.
Zu Frage 4: Wie in der Antwort zu Frage 1 demonstriert, ist ein Vektor x eine Lösung, wenn alle Gleichungen stimmen, wenn man die Komponenten von x als \(x_1,x_2,x_3,x_4\) in das LGS eingesetzt.
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m.simon.539
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