Lösungsmenge einer Matrix

Aufrufe: 287     Aktiv: 31.10.2023 um 10:59

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Hilfe, leider verstehe ich die Lösung zu dieser Aufgabe überhaupt nicht, ich bin komplett verwirrt. Vielen Dank im Voraus fürs durchlesen!

1. Wieso ist x1 keine Lösung, x2 aber schon? Beide Spalten lassen sich durch Einser und Nullen darstellen, damit müsste sie doch abhängig sein. Bzw die gleiche Aussage zulassen.
2. Wenn x2 und x3 Lösungen sind, wieso steht in der speziell inhomogenen Lösungsmenge, dann nur eine 1 bei x2?
3. Wieso wird in der Angabe x4 als mögliche Lösung ausgeschlossen? Was bedeutet das ganz allgemein?
4. Ich denke ich verstehe das Wort "Lösung" in diesem Zusammenhang nicht.



Die Angabe:


Die Lösung des LGS:


Die Lösungsmenge:

EDIT vom 09.10.2023 um 23:25:

Erweiterung:



EDIT vom 09.10.2023 um 23:32:

Bei mir zeigt es die Bilder nicht an. Hier nochmal:


gefragt
inaktiver Nutzer

 

Vektoren $x_1,x_2,x_3$... Wenn überhaupt dann ein Vektor $x=(x_1,x_2,x_3)$ und das vergessene $x_4$. Und auch die Notation beim Lösen (mit den Zeilen die von 1-10 durchnummeriert sind) gibt mir Kopfschmerzen. Die Notation der Lösungsmenge ist auch ehr seltsam. Kein Wunder, dass du verwirrt bist. Darf ich fragen woher das Material kommt? Poste bitte nochmal die gesamte Aufgabe, damit wir sichergehen können, dass wir nix verpasst haben.   ─   crystalmath 09.10.2023 um 23:08

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Achtung. \(x^1\) ist was anderes als \(x_1\)!
Analoges gilt für \(x^2\) und \(x^3\).
Man muss zwischen hochgestelltem und tiefgestelltem Index unterscheiden!
x mit hochgestelltem Index ist ein Vierer-Vektor.
x mit tiefgestelltem Index ist eine einfache Zahl.

\(x^1\) ist angegeben (drittletze Zeile Deiner Frage), aber \(x^2\) und \(x^3\) nicht.
Wie lauten denn \(x^2\) und \(x^3\)?

Zum Begriff "Lösung": Man hat einen Vierervektor y. Man setze
- Jedes \(x_1\) im LGS durch die 1. Komponente von y
- Jedes \(x_2\) im LGS durch die 2. Komponente von y
- Jedes \(x_3\) im LGS durch die 3. Komponente von y
- Jedes \(x_4\) im LGS durch die 4. Komponente von y
Wenn dann alle Gleichungen des LGS stimmen, dann ist y Lösung des LGS.

Das \(x^1\) in der drittletzen Zeile ist Lösung des LGS.
Ich vermute daher, dass das \(x^1\) in der drittletzen Zeile ein anderes ist als \(x^1\) in der viertletzten Zeile.
Steht vielleicht noch ein anderes \(x^1\) in Deiner Aufgabe?


  ─   m.simon.539 09.10.2023 um 23:20

Ich kann Deine neuen Bilder leider nicht lesen! :-(   ─   m.simon.539 09.10.2023 um 23:30

@m.simon.539 Du hast Recht, aber die Notation ist dennoch verwirrend (und das ist noch nett gesagt) und sollte so mMn in keinem zahlungspflichtigen Übungsbuch stehen. @j.beringe Bilder sind lesbar. Was @m.simon.539 sagt, ist vollkommen korrekt.   ─   crystalmath 09.10.2023 um 23:37
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Zur Frage 1: Diese Frage bezieht sich auf Aufgabe b).
Hier ist
\(x^1 = \left(\begin{array}{c} 1\\2\\3\\4 \end{array}\right),\;\;
  x^2 = \left(\begin{array}{c} 1\\1\\-1\\-1 \end{array}\right),\;\;
  x^3 = \left(\begin{array}{c} -2\\1\\2\\2 \end{array}\right).
\)

Um zu prüfen, ob diese Vektoren das LGS lösen, muss man ja deren Komponenten als \(x_1,x_2,x_3,x_4\) in das LGS einsetzen.

Prüfung von \(x^1\):
Dann muss man \(x_1=1,\; x_2=2,\; x_3=3,\;x_4=4\) in das LGS einsetzen.
Das ergibt:
\( \begin{array}{ccccccccc}
3 \cdot 1 &-&             2 &+& 2 \cdot 3 &+&            4 &=& -1\\
2 \cdot 1 &-& 2 \cdot 2 &+& 3 \cdot 3 &-&             4 &=& -2\\
            1 &-& 3 \cdot 2 &+& 4 \cdot 3 &-& 3 \cdot 4 &=& -3\\
4 \cdot 1 & &                &+& 3 &+& 3 \cdot 4 &=& 0
\end{array}\)
Die erste Gleichung stimmt schon nicht \(\Rightarrow\) \(x^1\) ist keine Lösung.

Prüfung von \(x^2\):
Dann muss man \(x_1=1,\; x_2=1,\; x_3=-1,\;x_4=-1\) in das LGS einsetzen.
Das ergibt:
\( \begin{array}{ccccccccc}
3 \cdot 1 &-&             1 &+& 2 \cdot (-1) &+&            (-1) &=& -1\\
2 \cdot 1 &-& 2 \cdot 1 &+& 3 \cdot (-1) &-&             (-1) &=& -2\\
            1 &-& 3 \cdot 1 &+& 4 \cdot (-1) &-& 3 \cdot (-1) &=& -3\\
4 \cdot 1 & &                &+& -1 &+& 3 \cdot (-1) &=& 0
\end{array}\)
Alle Gleichungen stimmen \(\Rightarrow\) \(x^2\) ist Lösung.

Analog rechnet man nach, dass \(x^3\) Lösung ist.

Zur Frage 2: Die spezielle inhomogene Lösung \(x^1=\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)\) ist aus Aufgabe c).
Dieses \(x^1\) ist einfach eine weitere Lösung des LGS., die aus den letzten beiden Zeilen der Rechnung zu Aufgabe c) abgelesen wird.
Dieses \(x^1\) ist nicht das \(x^1\) aus Aufgabe a).
Wie man sich leicht überzeugt, ist dieses \(x^1\) Lösung des LGS.

Zu Frage 3: Wie gesagt, \(x^4\) ist nicht \(x_4\). \(x^4\) kommt in der gesamten Aufgabe nicht vor.

Zu Frage 4: Wie in der Antwort zu Frage 1 demonstriert, ist ein Vektor x eine Lösung, wenn alle Gleichungen stimmen, wenn man die Komponenten von x als \(x_1,x_2,x_3,x_4\) in das LGS eingesetzt.
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