Normalverteilung Integral 0 bis unendlich approximativ

Aufrufe: 526     Aktiv: 20.02.2022 um 20:50

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Hallo, ich komme bei einer Aufgabe nicht mehr weiter.

Ich habe folgendes Integral gegeben (irgendwie bekomme ich das mit latex nicht vernünftig hin...):
1/ √ 2π * $ \int_{0}^{\infty} exp(-x^2/2) dx $

Dieses Integral soll ich approximativ bestimmen mit Hilfe einer summierten Quadraturregel (Trapez oder Simpson)
und einer Genauigkeit von 10 Nachkommastellen.

Ich überlege schon die ganze Zeit, wie man da am besten anfängt.

Meine Idee:

Ich bestimme von der Funktion im Integral die y-Werte, bis sie sich gering verändern und erkennbar ist,
dass die Funktion gegen 0 läuft.

Dann kann ich den passenden x Wert als obere Grenze wählen und mit Hilfe von
gleichgroßen Teilintervallen das Integral berechnen.

Ich erhöhe solange die Anzahl der Teilintervalle (in 50er Schritten vielleicht?), bis sich
die ersten 10 Nachkommastellen nicht mehr ändern.

 

Ist dieses Vorgehen sinnvoll? Ich weiß nämlich nicht, wie ich sonst meine obere Intervallgrenze festlegen kann.

EDIT vom 19.02.2022 um 17:48:

Das ist jetzt nur für die summierte Trapezregel.

EDIT vom 19.02.2022 um 18:26:

Hier ist jetzt noch ein Versuch deine Anleitung zu benutzen

gefragt

Student, Punkte: 34

 

ja genau. Ich habe auch schon die Simpsonregel und die Trapezregel programmiert für Integrale mit gegebenen Grenzen und einer selbst einzugebenden Anzahl von Teilintervallen. Das funktioniert auch.
Jetzt soll ich mir aber ein geeignetes Konzept für die Auswahl der Stützstellen überlegen und ich sitze da jetzt seit 2 Tagen dran und komme nicht weiter.
Ist meine Idee dazu denn sinnvoll?
  ─   finelli 19.02.2022 um 12:29
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1 Antwort
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Bisschen merkwürdige Aufgabe, weil das gesuchte Integral ja genau 1/2 ist.
Aber wenn man die Aufgabenstellung mal so hinnimmt:
"bis sich die Stellen nicht mehr ändern" sagt nichts über den Fehler aus, ist nur eine Faustregel. Kann realistisch sein oder auch nicht.
Seriös geht man so vor, am Beispiel summierte Trapezregel $T_b(h) \approx \int_0^b$ und der Forderung Approximationsfehler $\le 10^{-10}$:
$|\int_0^\infty - T_b(h)| \le |\int_0^b - T_b(h)| + \int_b^\infty \stackrel{!}{\le} 10^{-10}$.
Diese Forderung an den Gesamtfehler kann man dann aufteilen z.B. als $5\cdot 10^{-11}+5\cdot 10^{-11}$.
Dann sind also zu erfüllen:
1. $|\int_0^b - T_b(h)|\le 5\cdot 10^{-11}$
und
2. $\int_b^\infty \le 5\cdot 10^{-11}$

Aus 2. kann man eine Bedingung für $b$ herleiten, das Restintegral ist nämlich $\le e^{-b}$ (Abschätzung $-\frac{x^2}2\le -x$ benutzen).
Mit diesem $b$ geht man in 1. und bestimmt das $h$. Das geht über die Fehlerabschätzung für die summierte Trapezregel. Es zeigt sich, dass $|f''|\le 1$. Dazu muss man aber etwas rechnen.

Kurz: Das ist eine umfangreiche Aufgabe, wenn man sie ernst nimmt. Die Lösung braucht einige Erfahrung, da kommt einiges zusammen (abschätzen in versch. Zusammenhängen, Kurvendiskussion). Die Frage ist halt, ob das wirklich so gemeint ist.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.35K

 

Ok, ich verstehe nur die Hälfte von dem was du geschrieben hast.
Ich glaube das Ziel ist es, dass wir das Programm für Integrale mit bekannten Grenzen weiterentwickeln sollen und jetzt halt ne gute Lösung für die Stützstellen brauchen.

Fange ich mal damit an, ob ich die Begriffe überhaupt richtig zugeordnet habe.
Sind bei der summierten Trapezregel jeweils Anfang und Ende vom Teilintervalle meine Stützstellen? Also dementsprechend die Anzahl der Teilintervalle = Anzahl der Stützstellen -1 ?
  ─   finelli 19.02.2022 um 14:47

Ich mache seit 2 Tagen nichts anderes als Skripte zu lesen. Ich will auch erstmal das Vorgehen verstehen wie ich das per Hand lösen würde.
Aber auch bei Simpsonregel frage ich mich, ob ich das mit den Stützstellen überhaupt richtig verstanden habe oder ob Stützstellen und Teilintervalle unterschiedliche Dinge sind. Denn in meinem Skript steht da keine richtige Erklärung zu. Die Stützstellen und Gewichte stehen da halt und dann gibt es eine Formel, bei der sie nicht mehr auftauchen.

Mir hilft das aufgeschriebene Vorgehen nicht, weil ich es nicht verstehe. Wir haben nichts weiter zu Fehlern besprochen. Lediglich einen Beweis zur Genauigkeit der summierten Mittelpunktsregel mit dem Ergebnis O(h²).

"Mit diesem b geht man in 1. und bestimmt das h. Das geht über die Fehlerabschätzung für die summierte Trapezregel." An dieser Stelle hier komme ich also nicht weiter.
Deswegen die Frage, mit den Stützstellen.
  ─   finelli 19.02.2022 um 15:14

Die originale Aufgabenstellung lautet:
Nun wollen wir das Integral (siehe oben) mit der summierter Simpsonregel oder der summierten Trapezregel approximativ bestimmen. Entwickeln und implementieren Sie eine geeignete Strategie, die die Stützstellen x_1, ..., x_m $\in$ R>=0 zu wählen. Berechnen Sie das Integral bis auf eine Genauigkeit von $\epsilon$ = 10 ^-10.

Die Aufgabe baut auf eine Aufgabe auf, bei der man ein Programm zur numerischen Integration per summierter Simpsonregel oder summierter Trapezregel mit äquidistanter Schrittweise schreiben sollte und dann ein Integral, das von 0 bis 1 ging, damit berechnen.

Das habe ich soweit auch verstanden und umgesetzt bekommen.
  ─   finelli 19.02.2022 um 15:29

Ok also ich habe mir jetzt nochmal Videos angeguckt und beide Formeln verstanden. Auch den Unterschied Stützstellen und Teilintervalle.
Ich habe jetzt auch nochmal Folien und Skript durchgesucht. Wir haben nichts zur Fehlerabschätzung gemacht. Ich denke mal, die Aufgabe wird dann anders zu lösen sein.
  ─   finelli 19.02.2022 um 15:43

Weil ich bei Aufgabe 1 einfach nur ne Formel implementieren musste. Dafür musste man das nicht unbedingt verstehen. Ne da wurde keine Genauigkeit gefordert. Daher ist da die Anzahl der Teilintervalle zum selber eingeben.   ─   finelli 19.02.2022 um 15:50

Ich habe jetzt versucht mich mal einzulesen. Ist ja ganz spannend das Thema.
Wenn ich das richtig verstanden habe, dann muss bei der Übungsaufgabe von dir h bei ca 1/100000 sein? Und bei der summierten Simpsonregel bei 1/65 ?
  ─   finelli 19.02.2022 um 17:16

Ich habe jetzt 2 Fotos hochgeladen. Einmal die Übungsaufgabe mit der summierten Trapezregel und einen Versuch nach deiner Anleitung meine Aufgabe zu lösen.
Ich bin mir aber echt nicht sicher, ob das wirklich so richtig ist.
Ok ich merke gerade selber, dass ich deine Übungsaufgabe nicht richtig gelöst habe, weil ich nur nach einem Wert geguckt habe und nicht den höchsten Wert für h bestimmt habe
  ─   finelli 19.02.2022 um 18:27

Hmm ok, also ich glaube, ich gucke mir das nach der Klausurenphasen nochmal genauer an.
Dann habe ich ein bisschen mehr Kopf dafür. Ich melde mich dann ggf nochmal.

Meine Aufgabe habe ich jetzt dann doch erstmal so gelöst, dass ich eine kleine Schrittweite festgelegt habe und dann solange die Teilintervalle erhöhe, bis sich die Nachkommastellen nicht mehr ändern.
Ich setze sie dann erstmal auf beantwortet. Danke für die Hilfe :)
  ─   finelli 20.02.2022 um 18:26

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