Bisschen merkwürdige Aufgabe, weil das gesuchte Integral ja genau 1/2 ist.
Aber wenn man die Aufgabenstellung mal so hinnimmt:
"bis sich die Stellen nicht mehr ändern" sagt nichts über den Fehler aus, ist nur eine Faustregel. Kann realistisch sein oder auch nicht.
Seriös geht man so vor, am Beispiel summierte Trapezregel $T_b(h) \approx \int_0^b$ und der Forderung Approximationsfehler $\le 10^{-10}$:
$|\int_0^\infty - T_b(h)| \le |\int_0^b - T_b(h)| + \int_b^\infty \stackrel{!}{\le} 10^{-10}$.
Diese Forderung an den Gesamtfehler kann man dann aufteilen z.B. als $5\cdot 10^{-11}+5\cdot 10^{-11}$.
Dann sind also zu erfüllen:
1. $|\int_0^b - T_b(h)|\le 5\cdot 10^{-11}$
und
2. $\int_b^\infty \le 5\cdot 10^{-11}$

Aus 2. kann man eine Bedingung für $b$ herleiten, das Restintegral ist nämlich $\le e^{-b}$ (Abschätzung $-\frac{x^2}2\le -x$ benutzen).
Mit diesem $b$ geht man in 1. und bestimmt das $h$. Das geht über die Fehlerabschätzung für die summierte Trapezregel. Es zeigt sich, dass $|f''|\le 1$. Dazu muss man aber etwas rechnen.

Kurz: Das ist eine umfangreiche Aufgabe, wenn man sie ernst nimmt. Die Lösung braucht einige Erfahrung, da kommt einiges zusammen (abschätzen in versch. Zusammenhängen, Kurvendiskussion). Die Frage ist halt, ob das wirklich so gemeint ist.