Gruppenaxiome

Aufrufe: 264     Aktiv: 21.08.2023 um 20:18

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Guten Tag,
Ich habe versucht folgende Aufgabe zu lösen und hatte als Ergebnis.
Für G1: Neutrales Element
|a-b| = a wenn man nach b löst dann erhält man 0 oder 2a und |2a-a| = |a-2a| = a sowie |a-0| = |0-a| = a

Für G2: Inverses Element
|a-b| = 0 wenn man nach b löst dann erhält man -a aber weiß nicht ob das hier stimmt |a-(-a)| = 2a und |-a-a| = 2a

Für G3: Assoziativität
Hatte ich festgestellt dass es nicht assoziativ ist da |a-|b-c| != |a-b|-c|

Für G4: Kommutativität
aob = |a-b| = |b-a| = boa
Also nur G1 und G4, (G2 und G3) nicht
Sind meine lösungen richtig?

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Student, Punkte: 107

 

G2: Gilt doch ich habe versehentlich -a anstatt a eingesetzt   ─   omran_m765 21.08.2023 um 19:32
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Moin,

hier muss man die Definitionen beim Wort nehmen:

(G1) Ein neutrales Element ist ein Element, welches JEDES andere Element auf sich selbst abbildet. $2a$ hängt von $a$ ab, und kann daher kein neutrales Element sein. Es gilt außerdem, dass das neutrale Element eindeutig bestimmt ist, wenn du zwei verschiedene neutrale Elemente hast, weißt du also, dass du einen Fehler gemacht hast.

(G2) Hier musst du richtig auflösen: $$|a-b|=0 \implies a-b=0$$falls $a\ge b$. Also $b=a$. Für $a\le b$ gilt $b-a=0$, was auf das selbe herausläuft.

(G3) Das ist richtig, die Verknüpfung ist nicht assoziativ. Man muss das allerdings begründen, im einfachsten Fall mit einem Gegenbeispiel, d.h. mit Zahlen $a,b,c \in \mathbb{N}$ mit $|a-|b-c||\neq ||a-b|-c|$.

(G4) Das hast du auch richitg gemacht, denn es gilt $$|a-b|=|-(b-a)|=|b-a|$$
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