Differenzialquotienten an einer beliebigen Stelle x0

Aufrufe: 944     Aktiv: 30.11.2020 um 18:14

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Bestimmen Sie zunächst den Differenzialquotienten an einer beliebigen Stelle x0. Berechnen Sie damit  die Tangentensteigung für die angegebenen Punkte des Graphen. Zeichnen Sie den Graphen von f, die Punkte und die Tangenten. 

 

Da habe ich wirklich gar keine Ahnung wie ich vorgehen soll.

gefragt

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Du kannst zunächst einmal überprüfen, ob alle Punkte auf dem Graphen ihrer zugehörigen Funktionsgleichung f liegen. Dazu setzt du die x- und y-Korrdinaten in die Funktionsgleichung ein und wenn du zu keinem Widerspruch kommst liegt der Punkt auf dem Graphen:

z.B. a) Punkt P:

\( 9,75 = 4^{2} -6,25= 16-6,25=9,75 \) Hier kommst du auf eine wahre Aussage, der Punkt P liegt auf dem Graphen von f.

Das kannst du mal machen für alle Punkte und ihre Funktionen. Sollte irgendein Punkt nicht drauf liegen wird es sehr viel komplizierter, dann schreib das in einen Kommentar und ich erkläre dir wie das geht. Ich mag nur nicht selbst alle Punkte überprüfen.

Wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt erhälst du den Anstieg der Tangente durch diesen Punkt durch die Ableitung der Funktion im x-Wert des Punktes!

Du leitest also die Funktionen f ab und setzt die x-Koordinate ein. Wie in deiner letzten Frage kannst du für die einzelnen Ableitungen die Summenregel verwenden. 

Für die Skizze zeichnest du dir den Funktionsgraphen. Entweder du machst eine Wertetabelle als Hilfestellung oder du erkennst an der Gleichung wie der Graph verlaufen muss oder du hast einen graphischen Taschenrechner, wo du dir den Verlauf anschauen kannst. Dann zeichnest du dir die Punkte mit ein. Durch diese kannst du eine Gerade mit dem soeben berechneten Anstieg zeichnen, diese ist dann die Tangente und das sollte wenn du alles richtig gemacht hast auch nach einer Tangente aussehen. :)

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Ging alles prima auf, vielen Dank!
Was wäre aber, wenn der Punkt nicht zur Funktion gehören würde? Wie würde ich da vorgehen?
  ─   trite8q1 30.11.2020 um 13:24

Das ist deutlich komplizierter, wusste nur nicht, ob ihr schon so weit seid :) das behandelt ihr dann nochmal explizit glaube ich, das ist jetzt wahrscheinlich noch etwas kompliziert.
Solltest du es dir dennoch anschauen wollen, kannst du das zum Beispiel hier finden:
https://abiturma.de/mathe-lernen/analysis/tangenten/tangente-durch-fernpunkt
  ─   jojoliese 30.11.2020 um 13:48

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Der Differentialquotient für a) \(f(x) = x^2 -6,25 \) ist definiert als \( \lim_{x \to x_0} {f(x) -f(x_0 \over x-x_0} =\lim_{x \to x_0} {(x^2-6,25) - (x_0^2 -6,25) \over x-x_0} =\lim_{x \to x_0}{ x^2 - x_0^2 \over x-x_0}=\lim {x \to x_0} {(x-x_0)(x+x_0) \over x-x_0}= \lim_{x \to x_0} (x+x_0)=2x_0\)
Die Steigung in P ist somit \( 2*x_0 =2*4=8\).
Probiers selbst mit den anderen Punkten und den anderen Funktionen 

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Nur aus Interesse, da ich noch nicht so oft den limes berechnet habe. Wie kommst du auf die Formel mit den verschiedenen Einsetzungen, mit anschließend dem Ergebnis?
  ─   trite8q1 30.11.2020 um 12:54

Ich bin etwas irritiert. Wenn du eine Aufgabe mit Differentialquotienten lösen sollst, muss das doch irgendwie im Unterricht behandelt worden sein. Der Ausdruck \( lim_{x \to x_0} {f(x)-f(x_0 \over x-x_0 }\) ist eine Definition des Differentialquotienten. Vielleicht kennst du eine andere Definition mit \(lim_{h \to 0} {f(x+h)-f(x) \over h}\). Das kommt auf Gleiche raus.   ─   scotchwhisky 30.11.2020 um 18:14

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