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Darstellungsmatrix und lineare Abbildungen

Erste Frage Aufrufe: 465 Aktiv: 01.12.2023 um 13:24

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Ich muss folgende Aufgabe lösen finde aber keinen Ansatz, um f mit den gegebenen Informationen zu bestimmen.

Es seien die folgenden Basen des

R [x]_{\leq 1} = {a x + b ∣ a, b \in R}

gegeben:

$\begin{matrix} B_{1} = {x + 2, 1}, B_{2} = {- 2 x + 1, x + 3} . \end{matrix}$

Außerdem sei die lineare Abbildung $f : R [x]_{\leq 1} \to R [x]_{\leq 1}$ durch die folgenden Bilder gegeben

$\begin{matrix} f (x + 2) = - 2 x + 1, f (1) = x + 3. \end{matrix}$

a) Bestimmen Sie $f (3 x)$ .

b) Bestimmen Sie $dim (Bild (f))$ .

c) Geben Sie eine Basis von $Kern (f)$ an.

d) Bestimmen Sie $f_{B_{1}, B_{2}}$ .

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gefragt 01.12.2023 um 13:10

hmt
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1 Antwort

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mikn · Answer 1 · 2023-12-01T13:24:24Z

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Es geht ganz genauso wie bei "normalen" Vektoren.
Sei

$p_1, p_2$ def. durch

$p_1(x)=x+2$ bzw.

$p_2(x)=1$ .
a) Zerlege die Funktion

$x\mapsto 3x$ in der Basis

$\{p_1,p_2\}$ und nutze die Linearität von

$f$ und die gegebenen

$f(p_1), f(p_2)$ .
b)

$Bild(f)=span\{f(p_1),f(p_2)\}$ , prüfe auf lin. Unabhängigkeit
c) Löse ein LGS
d) Wie bei Vektoren: Zerlege die Elemente der einen Basis in der anderen.

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geantwortet 01.12.2023 um 13:24

mikn
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