Aufgabe: 

Gegeben ist das in \(L^2(0,\pi)\) vollständige Orthonormalsystem \(l_0(x)=\sqrt{\frac{1}{\pi}}, l_k(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \cos(kx), k\in\mathbb{N}, x \in [0,\pi]\).

Bestimmen Sie mit dem Fourier-Ansatz \(u(t,x)=\sum_{k=0}^\infty a_k(t)\cdot l_k(x)\) eine formale Lösung der Wärmeleitungsgleichung:

\(\frac{\partial}{\partial t} u(t,x) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} u(t,x)\), \(\frac{\partial}{\partial x} u(t,0) = \frac{\partial}{\partial x} u(t,\pi)\), \(u(0,x) = f(x) = x-\frac \pi 2\)

\(\forall t>0\) \(\forall x \in (0,\pi)\)

Mein Lösungsansatz: 

\(\frac{\partial}{\partial t} u(t,x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{\partial}{\partial t} a_k(t)\cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \cos(kx) = \sum_{k=0}^\infty a_k(t)\cdot (-k^2)\sqrt{\frac 2\pi}\cos(kx) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} u(t,x) \)

Daraus folgt mit Koeffizientenvergleich: \(\frac{\partial}{\partial t} a_k(t) = -k^2\cdot a_k(t)\)

Wählt man nun als Anfangswert \(a_k(0)=c_k\) folgt mit dem Exponentialansatz, dass \(a_k(t)=c_k\cdot e^{-k^2t}\).  \( \Rightarrow u(0,x) = \sum_{k=0}^\infty c_k\cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \cos(kx) = x-\frac \pi 2\). 

Prüft man nun aber \(\frac{\partial}{\partial x} u(t,0) = \frac{\partial}{\partial x} u(t,\pi) \Leftrightarrow u(t,0) = u(t,\pi)\) ergibt sich ein Widerspruch, denn \(u(t,0) = \sum_{k=0}^\infty a_k(t)\cdot\sqrt{\frac 2\pi} \not = \sum_{k=0}^\infty a_k(t)\cdot \sqrt{\frac 2\pi} (-1)^k\), denn das gilt ja nur für alle \(k\) gerade. 

Weiß jemand an dieser Stelle weiter, oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?