Rand, Inneres, Abschluss einer Menge

Erste Frage Aufrufe: 110     Aktiv: 20.04.2022 um 18:54

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Servus,
ich habe hier die Betragmetrik $d(x,y)=|x-y|$ gegeben, und soll von der Menge \( M:=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{\frac{1}{2^{n+2}}}\left(\frac{1}{2^{n}}\right) \), wobei $B_\epsilon(a)= \{x \in \mathbb{R} | d(a,x)<\epsilon \}$ bestimmen ob Sie offen/geschlossen ist, den Rand/das Innere etc, aber ich bin mir nicht so sicher ob ich das richtig gemacht habe, kann da ggf mal jemand drüber schauen?

$$ M:=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{\frac{1}{2^{n+2}}}\left(\frac{1}{2^{n}}\right) = \bigcup_{n=1}^{\infty} ]\frac{3}{2^{n+2}}; \frac{5}{2^{n+2}}[$$

Die Vereinigung offener Mengen ist immernoch offen, also ist M eine offene Menge.
Weiter gehts, es gilt:
$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3}{2^{n+2}} = 0$
$\lim\limits_{x\to 1}\frac{5}{2^{n+2}} = \frac{5}{8}$

Daraus folgt der Rand von M: $\partial M = \{0, \frac{5}{8}\}$

$$\bar M = \partial M \cup M = \bigcup_{n=1}^{\infty} ]\frac{3}{2^{n+2}}; \frac{5}{2^{n+2}}[ \cup \{0, \frac{5}{8}\} = [0,\frac{5}{8}] $$
 $$\circ M = M - \partial M = ]0; \frac{5}{8}[ $$

Ich bin mir halt unsicher, ob ich mir das nicht bei dem Inneren und bei dem Rand etwas zu einfach gemacht habe.

LG
   


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Das ist in der Tat etwas komplizierter.
Das schöne an Mathe-Aufgaben ist, dass man einfach mal Beispiele ausrechnen kann. Das ist sehr hilfreich. Mach das auch mal, fang mal an, die Vereinigung auszurechnen und ordne die gefundenen Intervalle auf der Zahlengeraden. Dann siehst Du, dass es ab "weiter geht's" falsch wird.
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Wichtiger Hinweis, vielen Dank, ich habe mir das ganze mal visualisiert: https://www.geogebra.org/calculator/d9ysbxhg
Mein Denkfehler: Ich bin davon ausgegangen, dass die einzelnen Mengen für $n=1,2,3...$ "ineinander überlaufen", wobei sie doch tatsächlich alle disjunkt sind.
Bleiben wir vielleicht erstmal bei n=2, dann habe ich ja theoretisch rein nach Definition 4 Randpunkte, bei n=3 wären es 6 Randpunkte und bei n entsprechend 2n Randpunkte. Eigentlich ist ja dann $\partial M = \partial M_1 \cup \partial M_2 \cup ... \partial M_n$, wobei $M_n$ der Menge M für $n=1,2,...,n$ entspricht. Kann ich denn bei sowas den Rand konkret angeben? Und wie kann ich jetzt hiermit weiterarbeiten (v.a. in Bezug auf den Abschluss)?

Idee von mir zum Inneren davon: Das sind ja alles offene Mengen, dass heißt ja z.B. $x \in \partial M_1 \Rightarrow x \notin M_1$. Und weil der Rand ja sowieso nicht dazugehört, ist das ja auch Wurscht, wenn ich ihn wegnehme, also:
$$\circ M = M - \partial M = M$$

  ─   leo.314 20.04.2022 um 16:11

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Sehr gut. Du hast ja schon festgestellt, dass $M$ als Vereinigung offener Mengen wieder offen ist, daher ist sofort (ohne über den Rand nachzudenken) $\circ M=M$.
Zum Rand gehören (Achtung: genau lesen) auf jeden Fall die Ränder der Intervalle. Das kannst Du als Menge angeben (sind quasi die Elemente einer Folge). Die Frage bleibt, ist das alles oder gibt's noch mehr Randpunkte?
  ─   mikn 20.04.2022 um 16:22

Hmm ok, also zu "Zum Rand gehören auf jeden Fall die Ränder der Intervalle" ist ja eigentlich genau das was ich oben mit "$ \partial M=\partial M_{1} \cup \partial M_{2} \cup \ldots \partial M_{n} $" geschrieben habe, etwas besser und allgemeiner formuliert: $\partial(A \cup B) = \partial A \cup \partial B$ (Den Ausdruck habe ich glaube schon mal irgendwo bewiesen, not so sure).

"Die Frage bleibt, ist das alles oder gibt's noch mehr Randpunkte?" Würde ich jetzt mal mit Nein beantworten. Die Vereinigung besteht ja aus disjunkten Teilmengen. Jeder von dieser Mengen hat einen eindeutigen Rand. Da es sich bei diesen Teilmengen ja um einfache (nicht-leere) Intervalle handelt, gibt es mind. 1, aber höchstens 2 Randpunkte. Da wüsste ich nicht, wo auf einmal noch einer dazukommen sollte.

Daraus folgernd habe ich meinen Rand mal etwas angepasst zu: $ \partial M:=\bigcup_{n=1}^{\infty} \{\frac{3}{2^{n+2}};\frac{5}{2^{n+2}} \} $

Ich hoffe mal, dass das so hinhaut. LG
  ─   leo.314 20.04.2022 um 17:18

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Ich würde so schreiben: $\{ \frac3{2^{n+2}} |n\in N\} \cup \{ \frac5{2^{n+2}} |n\in N\}\subseteq \partial M$. Ist mir sympathischer also das $\bigcup$, aber damit geht's auch.
Der Rand enthält ja die Punkte, die mit einer Folge aus $M$ angenähert werden können. Fällt Dir einer ein, der noch in Frage kommt?
  ─   mikn 20.04.2022 um 17:54

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Tipp: du kannst das Innere $\mathring{M}$ in $\LaTeX$ mit \mathring{M} darstellen.   ─   zest 20.04.2022 um 17:54

@zest: danke. Ich war ehrlich gesagt zu faul darüber nachzudenken und hab die Notation des Fragers übernommen.   ─   mikn 20.04.2022 um 17:57

Kein Problem, ich kann mich erinnern damals verhältnismäßig lange nach dem Symbol gesucht zu haben, deswegen der Tipp.   ─   zest 20.04.2022 um 17:59

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Danke für den Hinweis zur Notation @zest. Der Punkt der ggf. noch in Frage käme wäre dann 0 @mikn. Hast mir sehr weitergeholfen, Dankeschön <3   ─   leo.314 20.04.2022 um 18:42

Genau, die 0. Wenn Du eine Folge findest, die in M liegt und gegen 0 läuft, ist $0\in \partial M$. Damit ist der Rand komplett. Bei Regeln wie Deine obige ("schonmal bewiesen"... "not so sure") muss man vorsichtig sein, wenn man, wie hier unendlich viele Mengen vereinigt. Da ist manchmal was anders als wenn man nur zwei oder endlich viele vereinigt.   ─   mikn 20.04.2022 um 18:54

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