Servus,
ich habe hier die Betragmetrik $d(x,y)=|x-y|$ gegeben, und soll von der Menge \( M:=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{\frac{1}{2^{n+2}}}\left(\frac{1}{2^{n}}\right) \), wobei $B_\epsilon(a)= \{x \in \mathbb{R} | d(a,x)<\epsilon \}$ bestimmen ob Sie offen/geschlossen ist, den Rand/das Innere etc, aber ich bin mir nicht so sicher ob ich das richtig gemacht habe, kann da ggf mal jemand drüber schauen?

$$ M:=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{\frac{1}{2^{n+2}}}\left(\frac{1}{2^{n}}\right) = \bigcup_{n=1}^{\infty} ]\frac{3}{2^{n+2}}; \frac{5}{2^{n+2}}[$$

Die Vereinigung offener Mengen ist immernoch offen, also ist M eine offene Menge.
Weiter gehts, es gilt:
$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3}{2^{n+2}} = 0$
$\lim\limits_{x\to 1}\frac{5}{2^{n+2}} = \frac{5}{8}$

Daraus folgt der Rand von M: $\partial M = \{0, \frac{5}{8}\}$

$$\bar M = \partial M \cup M = \bigcup_{n=1}^{\infty} ]\frac{3}{2^{n+2}}; \frac{5}{2^{n+2}}[ \cup \{0, \frac{5}{8}\} = [0,\frac{5}{8}] $$
 $$\circ M = M - \partial M = ]0; \frac{5}{8}[ $$

Ich bin mir halt unsicher, ob ich mir das nicht bei dem Inneren und bei dem Rand etwas zu einfach gemacht habe.

LG