Das schöne an Mathe-Aufgaben ist, dass man einfach mal Beispiele ausrechnen kann. Das ist sehr hilfreich. Mach das auch mal, fang mal an, die Vereinigung auszurechnen und ordne die gefundenen Intervalle auf der Zahlengeraden. Dann siehst Du, dass es ab "weiter geht's" falsch wird.
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"Die Frage bleibt, ist das alles oder gibt's noch mehr Randpunkte?" Würde ich jetzt mal mit Nein beantworten. Die Vereinigung besteht ja aus disjunkten Teilmengen. Jeder von dieser Mengen hat einen eindeutigen Rand. Da es sich bei diesen Teilmengen ja um einfache (nicht-leere) Intervalle handelt, gibt es mind. 1, aber höchstens 2 Randpunkte. Da wüsste ich nicht, wo auf einmal noch einer dazukommen sollte.
Daraus folgernd habe ich meinen Rand mal etwas angepasst zu: $ \partial M:=\bigcup_{n=1}^{\infty} \{\frac{3}{2^{n+2}};\frac{5}{2^{n+2}} \} $
Ich hoffe mal, dass das so hinhaut. LG ─ leo.314 20.04.2022 um 17:18
Mein Denkfehler: Ich bin davon ausgegangen, dass die einzelnen Mengen für $n=1,2,3...$ "ineinander überlaufen", wobei sie doch tatsächlich alle disjunkt sind.
Bleiben wir vielleicht erstmal bei n=2, dann habe ich ja theoretisch rein nach Definition 4 Randpunkte, bei n=3 wären es 6 Randpunkte und bei n entsprechend 2n Randpunkte. Eigentlich ist ja dann $\partial M = \partial M_1 \cup \partial M_2 \cup ... \partial M_n$, wobei $M_n$ der Menge M für $n=1,2,...,n$ entspricht. Kann ich denn bei sowas den Rand konkret angeben? Und wie kann ich jetzt hiermit weiterarbeiten (v.a. in Bezug auf den Abschluss)?
Idee von mir zum Inneren davon: Das sind ja alles offene Mengen, dass heißt ja z.B. $x \in \partial M_1 \Rightarrow x \notin M_1$. Und weil der Rand ja sowieso nicht dazugehört, ist das ja auch Wurscht, wenn ich ihn wegnehme, also:
$$\circ M = M - \partial M = M$$
─ leo.314 20.04.2022 um 16:11