Rand, Inneres, Abschluss einer Menge

Erste Frage Aufrufe: 653     Aktiv: 20.04.2022 um 18:54

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Servus,
ich habe hier die Betragmetrik $d(x,y)=|x-y|$ gegeben, und soll von der Menge \( M:=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{\frac{1}{2^{n+2}}}\left(\frac{1}{2^{n}}\right) \), wobei $B_\epsilon(a)= \{x \in \mathbb{R} | d(a,x)<\epsilon \}$ bestimmen ob Sie offen/geschlossen ist, den Rand/das Innere etc, aber ich bin mir nicht so sicher ob ich das richtig gemacht habe, kann da ggf mal jemand drüber schauen?

$$ M:=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{\frac{1}{2^{n+2}}}\left(\frac{1}{2^{n}}\right) = \bigcup_{n=1}^{\infty} ]\frac{3}{2^{n+2}}; \frac{5}{2^{n+2}}[$$

Die Vereinigung offener Mengen ist immernoch offen, also ist M eine offene Menge.
Weiter gehts, es gilt:
$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3}{2^{n+2}} = 0$
$\lim\limits_{x\to 1}\frac{5}{2^{n+2}} = \frac{5}{8}$

Daraus folgt der Rand von M: $\partial M = \{0, \frac{5}{8}\}$

$$\bar M = \partial M \cup M = \bigcup_{n=1}^{\infty} ]\frac{3}{2^{n+2}}; \frac{5}{2^{n+2}}[ \cup \{0, \frac{5}{8}\} = [0,\frac{5}{8}] $$
 $$\circ M = M - \partial M = ]0; \frac{5}{8}[ $$

Ich bin mir halt unsicher, ob ich mir das nicht bei dem Inneren und bei dem Rand etwas zu einfach gemacht habe.

LG
   


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Das ist in der Tat etwas komplizierter.
Das schöne an Mathe-Aufgaben ist, dass man einfach mal Beispiele ausrechnen kann. Das ist sehr hilfreich. Mach das auch mal, fang mal an, die Vereinigung auszurechnen und ordne die gefundenen Intervalle auf der Zahlengeraden. Dann siehst Du, dass es ab "weiter geht's" falsch wird.
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Wichtiger Hinweis, vielen Dank, ich habe mir das ganze mal visualisiert: https://www.geogebra.org/calculator/d9ysbxhg
Mein Denkfehler: Ich bin davon ausgegangen, dass die einzelnen Mengen für $n=1,2,3...$ "ineinander überlaufen", wobei sie doch tatsächlich alle disjunkt sind.
Bleiben wir vielleicht erstmal bei n=2, dann habe ich ja theoretisch rein nach Definition 4 Randpunkte, bei n=3 wären es 6 Randpunkte und bei n entsprechend 2n Randpunkte. Eigentlich ist ja dann $\partial M = \partial M_1 \cup \partial M_2 \cup ... \partial M_n$, wobei $M_n$ der Menge M für $n=1,2,...,n$ entspricht. Kann ich denn bei sowas den Rand konkret angeben? Und wie kann ich jetzt hiermit weiterarbeiten (v.a. in Bezug auf den Abschluss)?

Idee von mir zum Inneren davon: Das sind ja alles offene Mengen, dass heißt ja z.B. $x \in \partial M_1 \Rightarrow x \notin M_1$. Und weil der Rand ja sowieso nicht dazugehört, ist das ja auch Wurscht, wenn ich ihn wegnehme, also:
$$\circ M = M - \partial M = M$$

  ─   leo.314 20.04.2022 um 16:11

Hmm ok, also zu "Zum Rand gehören auf jeden Fall die Ränder der Intervalle" ist ja eigentlich genau das was ich oben mit "$ \partial M=\partial M_{1} \cup \partial M_{2} \cup \ldots \partial M_{n} $" geschrieben habe, etwas besser und allgemeiner formuliert: $\partial(A \cup B) = \partial A \cup \partial B$ (Den Ausdruck habe ich glaube schon mal irgendwo bewiesen, not so sure).

"Die Frage bleibt, ist das alles oder gibt's noch mehr Randpunkte?" Würde ich jetzt mal mit Nein beantworten. Die Vereinigung besteht ja aus disjunkten Teilmengen. Jeder von dieser Mengen hat einen eindeutigen Rand. Da es sich bei diesen Teilmengen ja um einfache (nicht-leere) Intervalle handelt, gibt es mind. 1, aber höchstens 2 Randpunkte. Da wüsste ich nicht, wo auf einmal noch einer dazukommen sollte.

Daraus folgernd habe ich meinen Rand mal etwas angepasst zu: $ \partial M:=\bigcup_{n=1}^{\infty} \{\frac{3}{2^{n+2}};\frac{5}{2^{n+2}} \} $

Ich hoffe mal, dass das so hinhaut. LG
  ─   leo.314 20.04.2022 um 17:18

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Danke für den Hinweis zur Notation @zest. Der Punkt der ggf. noch in Frage käme wäre dann 0 @mikn. Hast mir sehr weitergeholfen, Dankeschön <3   ─   leo.314 20.04.2022 um 18:42

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